Question

定义：对于区间[a，b），（a，b），[a，b]，（a，b]，则b-a为区间长度．若关于x的不等式

x2+(2a2+2)x-a2+4a-7

x2+(a2+4a-5)x-a2+4a-7

＜0的解集是一些区间的并集，且这些区间长度的和不小于4，则实数a的取值范围是

a≥3或a≤1

．

Answer 1

分析：注意到不等式左边的分子、分母关于x的二次式的系数的关系，然后根据根与系数的关系表示出原不等式的解集，根据这些区间长度的和不小于4，建立关系式，解之即可．

解答：解：注意到不等式左边的分子、分母关于x的二次式的系数的关系：a²+4a-5）-（2a²+2）=-a²+4a-7
设关于x的方程x²+（2a²+2）x-a²+4a-7=0，²+（a²+4a-5）x-a²+4a-7=0的两根分别为x₁和x₂（x₁＜x₂）、x₃和x₄（x₃＜x₄）
注意到：x₁x₂=x₃x₄=-a²+4a-7=-（a-2）²-3＜0
 （x₁+x₂）-（x₃+x₄）=（a²+4a-5）-（2a²+2）=-a²+4a-7＜0，所以x₁、x₂、x₃、x₄的大小关系是x₁＜x₃＜x₂＜x₄，
故原不等式的解集为（x₁，x₃）∪（x₂，x₄），由题意得（x₃-x₁）+（x₄-x₂）≥4，即a^2-4a+7≥4，解得a≤1或a≥3．
故答案为：a≥3或a≤1．

点评：本题是新定义问题，实际上考查二次函数的图象与性质，二次不等式解法．新定义问题，首先认真阅读理解所给新定义的内容与意义，在转化为已经学过的知识和方法．