Question

我们知道：两个互为反函数的函数y=2^x与y=log₂x的图象关于直线y=x成轴对称，利这一性质，若x₁和x₂分别是2^x+x+a=0和log₂x+x+a=0的两根，则x₁+x₂的值为直线y=x与直线y=-x-a的交点的横坐标的2倍，即x₁+x₂=-a； 由函数y=x³与函数互为反函数，我们可以得出：若方程x³+x-3=0的根为x₁，方程（x-3）³+x=0的根为x₂，则x₁+x₂=    ．

Answer 1

【答案】分析：由已知中，若x₁和x₂分别是2^x+x+a=0和log₂x+x+a=0的两根，则x₁+x₂的值为直线y=x与直线y=-x-a的交点的横坐标的2倍，即x₁+x₂=-a；我们经过类比推理可得函数y=x³与函数互为反函数，方程x³+x-3=0的根为x₁，方程（x-3）³+x=0的根为x₂，得到方程x³+x-3=0的根为x₁，方程（x-3）³+x=0的根为x₂，进而得到答案．
解答：解：∵x₁和x₂分别是2^x+x+a=0和log₂x+x+a=0的两根，
则x₁+x₂的值为直线y=x与直线y=-x-a的交点的横坐标的2倍，即x₁+x₂=-a；
由此类比推理
∵方程x³+x-3=0的根为x₁，方程（x-3）³+x=0的根为x₂，
∴x₂为的根，
则x₁+x₂的值为直线y=x与直线y=-x+3的交点的横坐标的2倍
由于直线y=x与直线y=-x+3的交点的横坐标为
故x₁+x₂=3
故答案为：3
点评：本题考查的知识点是类比推理，要先找出两类事物之间的相似性或一致性（如本题中已知和未知两个函数均互为反函数），再用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）