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已知函数f(x)=x2+(3m+1)x+3m(m>0)的图象与x轴交于不同的两点A,B且|AB|=2.
(1)求实数m的值;
(2)设g(x)=f(x)-λx,x∈[0,+∞),若g(x)图象上的点都在直线y=1上方,求λ的取值范围.
分析:(1)利用韦达定理及弦长公式,根据|AB|=2,即可求实数m的值;
(2)将x∈[0,+∞),g(x)图象上的点都在直线y=1上方,转化为x2+4x+3-λx>1在[0,+∞)上恒成立,分类讨论,利用分离参数法,即可确定λ的取值范围.
解答:解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是f(x)=0的两个不同实根,所以△>0,所以(3m+1)2-12m>0,所以m≠
1
3

又x1+x2=-(3m+1),x1x2=3m
∴|AB|=|x1-x2|=(x1+x22-4x1x2=(3m+1)2-4×3m=4
∴3m2-2m-1=0
∴m=1或m=-
1
3

∵m>0,
∴m=1;
(2)由(1)知m=1,则f(x)=x2+4x+3,∴g(x)=x2+4x+3-λx
∵x∈[0,+∞),g(x)图象上的点都在直线y=1上方,
∴x2+4x+3-λx>1在[0,+∞)上恒成立
①当x=0时,λ∈R;
②当x∈(0,+∞)时,λ<x+
2
x
+4恒成立
∵x∈(0,+∞)时,x+
2
x
2
2

∴λ<2
2
+4
综上知,λ的取值范围是(-∞,2
2
+4).
点评:本题考查韦达定理的运用,考查恒成立问题,考查分离参数法的运用,考查基本不等式,综合性强.
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•深圳一模)已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•上海模拟)已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:上海模拟 题型:解答题

已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:深圳一模 题型:解答题

已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

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