精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
10.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{{\sqrt{3}cosB}}$.
(Ⅰ)求角B的值;
(Ⅱ)求sinA+sinC的取值范围.

分析 (Ⅰ)由正弦定理化简已知可得:$\frac{sinA}{sinA}=\frac{sinB}{{\sqrt{3}cosB}}$,求得$tanB=\sqrt{3}$,结合范围B∈(0,π),即可求得B的值.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:sinA+sinC=$\sqrt{3}$sin(A+$\frac{π}{6}$),由范围$A∈(0,\;\frac{2π}{3})$,可得$A+\frac{π}{6}∈(\frac{π}{6},\;\frac{5π}{6})$,由正弦函数的性质可得$sin(A+\frac{π}{6})∈(\frac{1}{2},\;1]$,即可得解.

解答 (本题满分为14分)
解:(Ⅰ)由正弦定理:$\frac{sinA}{sinA}=\frac{sinB}{{\sqrt{3}cosB}}$,
∴$tanB=\sqrt{3}$,
∵B∈(0,π),∴$B=\frac{π}{3}$.               …(7分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:$sinA+sinC=sinA+sin(A+\frac{π}{3})$=$\frac{3}{2}sinA+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA=\sqrt{3}sin(A+\frac{π}{6})$,
∵$A∈(0,\;\frac{2π}{3})$,∴$A+\frac{π}{6}∈(\frac{π}{6},\;\frac{5π}{6})$,
∴$sin(A+\frac{π}{6})∈(\frac{1}{2},\;1]$,
∴$sinA+sinC∈(\frac{{\sqrt{3}}}{2},\;\sqrt{3}]$.                  …(14分)

点评 本题主要考查了正弦定理,同角三角函数基本关系式,三角函数恒等变换的应用,考查了正弦函数的图象和性质,属于中档题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

17.已知A={x|-1<x<2},B={x|x≤1},则A∩(∁RB)=(  )
A.{x|1<x<2}B.{x|-1<x<1}C.{x|-1<x<2}D.{x|1≤x<2}

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

18.已知函数f(x)=2sin(2x-$\frac{π}{3}$)+1.
(Ⅰ)求函数f(x)图象的对称轴的方程和对称中心的坐标;
(Ⅱ)求函数f(x)在[-$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{2}$]上的单调递增区间;
(Ⅲ)求函数f(x)在[0,$\frac{π}{2}$]上的值域.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

15.设命题p:?x∈[1,2],x-lnx-a<1为真命题,则实数a的取值范围为a>1-ln2.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

5.已知函数f(x)=2sin(ωx),其中常数ω>0;
(1)若y=f(x)在$[-\frac{π}{4},\frac{2π}{3}]$上单调递增,求ω的取值范围;
(2)令ω=4,将函数y=f(x)的图象向左平移$\frac{π}{12}$个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象,区间[a,b](a,b∈R且a<b)满足:y=g(x)在[a,b]上至少含有20个零点,在所有满足上述条件的[a,b]中,求b-a的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

15.若0<x<y<1,则(  )
A.3y<3xB.log4x<log4yC.($\frac{1}{4}$)x<($\frac{1}{4}$)yD.logx3<logy3

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

2.幂函数y=f(x)的图象过点$(\frac{1}{2},4)$,那么f(4)的值为$\frac{1}{16}$.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

19.已知函数$f(x)=\frac{sin2x+cos2x+1}{2cosx}$
(Ⅰ)求函数f(x)的定义域
(Ⅱ)若$f({α+\frac{π}{4}})=\frac{{3\sqrt{2}}}{5}$,求cosα的值
(Ⅲ)在(Ⅱ)条件下,若α是第四象限角,求$cos({π-2α})+cos({2α-\frac{π}{2}})$的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

20.$\root{6}{(a-b)^{6}}$(a<b)=b-a.

查看答案和解析>>

同步练习册答案