Question

已知△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，且bc=2b²+2c²-2a²．
（1）求sinA的值；
（2）若a=1，sinB+sinC=

10

2

，求b的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形

分析：（1）利用余弦定理求出cosA，再利用平方关系，求sinA的值；
（2）运用三角形的内角和定理和两角和的正弦公式及同角公式，即可求得sinB，再由正弦定理，即可得到b．

解答： 解：（1）∵bc=2b²+2c²-2a²，
∴

1

2

bc=b²+c²-a²，
由余弦定理得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1 2 bc

2bc

=

1

4

，
则sinA=

1- 1 16

=

15

4

．  
（2）由A+B+C=π有C=π-（A+B），
于是由已知sinB+sinC=

10

2

得sinB+sin（A+B）=

10

2

，
即sinB+sinAcosB+cosAsinB=

10

2

，
将sinA=

15

4

，cosA=

1

4

代入整理得

5

4

sinB+

15

4

cosB=

10

2

①，
根据sin²B+cos²B=1，可得cosB=±

1-sin2B

．
代入①中，整理得8sin²B-4

10

sinB+5=0，
解得sinB=

10

4

．  
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，
有b=

asinB

sinA

=

1× 10 4

15 4

=

6

3

．

点评：本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查两角和的正弦公式的运用，考查运算能力，属于基础题．