Question

【题目】定义在[﹣1，1]上的奇函数f（x），已知当x∈[﹣1，0]时的解析式f（x）= ﹣ （a∈R）．
（1）写出f（x）在[0，1]上的解析式；
（2）求f（x）在[0，1]上的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，

又∵

∴ =1﹣a=0

解得a=1

即当x∈[﹣1，0]时的解析式

当x∈[0，1]时，﹣x∈[﹣1，0]

∴ =4x﹣2x=﹣f（x）

∴f（x）=2x﹣4x（x∈[0，1]）

（2）解：由（1）得当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣4x

令t=2x（t∈[1，2]）

则2x﹣4x=t﹣t2，

令y=t﹣t2（t∈[1，2]）

则易得当t=1时，y有最大值0

f（x）在[0，1]上的最大值为0

【解析】（1）由函数f（x）为定义在[﹣1，1]上的奇函数，其图象经过坐标原点，则根据x∈[﹣1，0]时的解析式 ，构造关于a的方程，再结合奇函数的性质，求出函数f（x）在[0，1]上的解析式．（2）根据（1）中函数的解析式，我们用换元法可将函数的解析式，转化为一个二次函数的形式，我们分析出函数的单调性，进而求出f（x）在[0，1]上的最大值．
【考点精析】掌握函数的最值及其几何意义和函数的奇函数是解答本题的根本，需要知道利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值；一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．