【题目】如图,在四棱柱中,底面ABCD和侧面都是矩形,E是CD的中点,,
.
(1)求证:;
(2)若平面与平面所成的锐二面角的大小为,求线段的长度.
【答案】(1)证明过程详见解析;(2).
【解析】
试题分析:本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角等基础知识,考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问,由已知得,,所以利用线面平行的判定得平面,再利用线面垂直的性质,得;第二问,可以利用传统几何法求二面角的平面角,也可以利用向量法求平面和平面的法向量,利用夹角公式列出方程,通过解方程,求出线段的长度..
(1)证明:∵底面和侧面是矩形,
∴,
又∵
∴平面 3分
∵平面∴ . 6分
(2)
解法1:延长,交于,连结,
则平面平面
底面是矩形,是 的中点,,∴连结,则
又由(1)可知
又∵,
∴底面,∴∴平面 9
过作于,连结,则是平面与平面即平面与平面所成锐二面角的平面角,所以
又,∴
又易得,,从而由,求得. 12分
解法2:由(1)可知
又∵,∴底面 7分
设为的中点,以为原点,以,,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系如图. 8分
设,则,,,,
设平面的一个法向量
∵,
由,得
令,得 9分
设平面法向量为,因为 ,,
由 得令,得. 10分
由平面与平面所成的锐二面角的大小为,
得 ,解得. 即线段的长度为. 12分
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【题目】函数的定义域为,对给定的正数,若存在闭区间,使得函数满足:①在内是单调函数;②在上的值域为,则称区间为的级“理想区间”.下列结论错误的是( )
A. 函数()存在1级“理想区间”
B. 函数()不存在2级“理想区间”
C. 函数()存在3级“理想区间”
D. 函数, 不存在4级“理想区间”
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【题目】(本小题满分12分,(1)小问7分,(2)小问5分)
设函数
(1)若在处取得极值,确定的值,并求此时曲线在点处的切线方程;
(2)若在上为减函数,求的取值范围。
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线的极坐标方程为),圆的参数方程为: (其中为参数).
(1)判断直线与圆的位置关系;
(2)若椭圆的参数方程为(为参数),过圆的圆心且与直线垂直的直线与椭圆相交于两点,求.
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【题目】如图:在四棱锥中, 平面,底面是正方形, .
(1)求异面直线与所成角的大小(结果用反三角函数值表示);
(2)求点、分别是棱和的中点,求证: 平面.
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【题目】如图所示:湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行,某一时刻,甲船在最前面的点处,乙船在中间点处,丙船在最后面的点处,且.一架无人机在空中的点处对它们进行数据测量,在同一时刻测得, .(船只与无人机的大小及其它因素忽略不计)
(1)求此时无人机到甲、丙两船的距离之比;
(2)若此时甲、乙两船相距100米,求无人机到丙船的距离.(精确到1米)
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