Question

设函数f(x)=x2-aln(2x+1)(x∈(-

1

2

，1)，a＞0)
（1）若函数f（x）在其定义域内是减函数，求a的取值范围；
（2）函数f（x）是否有最小值？若有最小值，指出其取得最小值时x的值，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）求出函数的导数，由于函数在定义域内是减函数，故导数小于等于0恒成立，由此不等式即可求出参数a的范围；
（2）在函数的定义域上研究其单调性，判断最值是否存在即可，可以先研究函数的极值，再比较极值与定义域区间点的大小，看最小值是否存在．

解答：解：（1）函数的导数f'（x）=2x-

2a

2x+1

=

2(2x2+x-a)

2x+1

∵函数f（x）在其定义域内是减函数
∴f'（x）≤0在x∈(-

1

2

，1)上恒成立
又∵x∈(-

1

2

，1)时，2x+1＞0
∴不等式2x²+x-a≤0在x∈(-

1

2

，1)上恒成立，即a≥2x²+x在x∈(-

1

2

，1)上恒成立
令g（x）=2x²+x，x∈(-

1

2

，1)，则g（x）_max=g（1）=3∴a≥3
（2）∵f'（x）=

2(2x2+x-a)

2x+1

，令f'（x）=0
解得x1=

-1- 1+8a

4

，x2=

-1+ 1+8a

4

由于a＞0，-

1

2

-x1=

1+8a -1

4

＞0，x2-(-

1

2

) =

1+8a +1

4

＞0
∴x1＜-

1

2

＜x2，
①当x2=

-1+ 1+8a

4

＜1即0＜a＜3时，在(-

1

2

，x2)上f′（x）＜0；在（x₂，1）上f′（x）＞0，
∴当x=

-1+ 1+8a

4

时，函数f（x）在(-

1

2

，1)上取最小值．
②当x2=

-1+ 1+8a

4

即a≥3时，在[-

1

2

，1]上f′（x）≤0，
∴当x=1时，函数f（x）在[-

1

2

，1]上取最小值．
由①②可知，当0＜a＜3时，函数f（x）在x=

-1+ 1+8a

4

时取最小值；
当a≥3时，函数f（x）在x=1时取最小值．（12分）

点评：本题考点是函数的最值及其几何意义，综合考查了用导数研究函数的单调性，以及依据单调性判断函数的最值的规则步骤，综合性较强，知识性较强．用导数研究函数的单调性是一很好的方法，做题时要注意灵活选用．