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已知函数f(x)=
12
x2-2x
,g(x)=logax.如果函数h(x)=f(x)+g(x)没有极值点,且h′(x)存在零点.
(1)求a的值;
(2)判断方程f(x)+2=g(x)根的个数并说明理由;
(3)设点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)是函数y=g(x)图象上的两点,平行于AB的切线以P(x0,y0)为切点,求证:x1<x0<x2
分析:(1)因为h′(x)存在零点,所以h′(x)=0有解,又因为h(x)没有极值点,所以在h′(x)=0的解的两侧函数的导数符号相同,所以对于方程h′(x)=0,满足△=0,就可求出a的值.
(2)方程f(x)+2=g(x)可变形为
1
2
x2-2x+2=lnx
,把方程的左右两边都看做是函数解析式,则只需在同一坐标系中作出这两个函数的图象,图象有几个交点,则方程f(x)+2=g(x)有几个不相等的实数根.
(3)因为以P(x0,y0)为切点的切线平行于直线AB,所以切线斜率等于直线AB的斜率,即
1
x0
=
y1-y2
x1-x2
,就可把
x0用A,B点的横坐标x1,x2表示,令t=
x2
x1
,则x0-x 1=
x1(t-1-lnt)
lnt
,利用导数判断函数y=t-1-lnt
的单调性,就可得到x1<x0<x2
解答:解:(1)依题意h(x)=
1
2
x2-2x+logax

h(x)=x-2+
1
xlna
=
x2lna-2xlna+1
xlna

∵h(x)无极值,h′(x)存在零点
∴x2lna-2xlna+1=0的△=0,
即4(lna)2-4lna=0,解得a=e或1,
∵g(x)=logax,
∴a≠1,
∴所求的a的值为e.
(2)方程f(x)+2=g(x)可变形为
1
2
x2-2x+2=lnx

在同一坐标系中作出函数y=
1
2
x2-2x+2
和函数y=lnx的图象,如右图,观察图象,有两个交点,
∴方程f(x)+2=g(x)有两个不相等的实数根.
(3)由已知
1
x0
=
y1-y2
x1-x2

所以x0=
x1-x2
y1-y2
x0-x1=
x1-x2
y1-y2
-x1=
x2-x1-x1(y2-y1)
y2-y1
=
x2-x1-x1ln
x2
x1
ln
x2
x1

t=
x2
x1
得:x0-x 1=
x1(t-1-lnt)
lnt
(t>1).构造函数y=t-1-lnt
当t≥1时,y/=1-
1
t
=
t-1
t
≥0
,所以函数y=t-1-lnt在当t≥1时是增函数
所以t>1时,t-1-lnt>0,所以x0-x1>0得x0>x1
同理可得x0<x2成立,所以x1<x0<x2
点评:本题主要考查函数极值与导数的关系,以及图象法判断方程解的个数,以及借助导数判断函数单调性的应用,属于综合题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

(1)、已知函数f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
.若角α在第一象限且cosα=
3
5
,求f(α)

(2)函数f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx
的图象按向量
m
=(
π
6
,-1)
平移后,得到一个函数g(x)的图象,求g(x)的解析式.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=(1-
a
x
)ex
,若同时满足条件:
①?x0∈(0,+∞),x0为f(x)的一个极大值点;
②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
则实数a的取值范围是(  )

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已知函数f(x)=
1+lnx
x

(1)如果a>0,函数在区间(a,a+
1
2
)
上存在极值,求实数a的取值范围;
(2)当x≥1时,不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求实数k的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
1+
1
x
,(x>1)
x2+1,(-1≤x≤1)
2x+3,(x<-1)

(1)求f(
1
2
-1
)
与f(f(1))的值;
(2)若f(a)=
3
2
,求a的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

定义在D上的函数f(x)如果满足:对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.已知函数f(x)=
1-m•2x1+m•2x

(1)m=1时,求函数f(x)在(-∞,0)上的值域,并判断f(x)在(-∞,0)上是否为有界函数,请说明理由;
(2)若函数f(x)在[0,1]上是以3为上界的有界函数,求m的取值范围.

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