Question

13．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差d≠0，且S₁+S₃=18，a₁，a₄，a₁₃成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设{$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$}是首项为1，公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，求数列{b_n}前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S₁+S₃=18，a₁，a₄，a₁₃成等比数列．可得4a₁+3d=18，$（{a}_{1}+3d）^{2}$=a₁•（a₁+12d），解出即可得出．
（2）由{$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$}是首项为1，公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，可得$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$（\frac{1}{3}）^{n-1}$，b_n=（2n+1）•3^n-1．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S₁+S₃=18，a₁，a₄，a₁₃成等比数列．
∴4a₁+3d=18，${a}_{4}^{2}={a}_{1}•{a}_{13}$，即$（{a}_{1}+3d）^{2}$=a₁•（a₁+12d），
解得a₁=3，d=2．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
（2）∵{$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$}是首项为1，公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$（\frac{1}{3}）^{n-1}$，∴b_n=（2n+1）•3^n-1．
∴数列{b_n}前n项和T_n=3+5×3+7×3²+…+（2n+1）•3^n-1．
3T_n=3²+5×3²+…+（2n-1）•3^n-1+（2n+1）•3ⁿ，
∴-2T_n=3+2×（3+3²+…+3^n-1）-（2n+1）•3ⁿ=$2×\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$+1-（2n+1）•3ⁿ
∴T_n=n•3ⁿ．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．