Question

已知函数f（x）=a^x+1-2（a＞0，且a≠1）设f^-1（x）是f（x）的反函数．
（I）若y=f^-1（x）在[0，1]上的最大值和最小值互为相反数，求a的值；
（Ⅱ）若y=f^-1（x）的图象不经过第二象限，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）欲求原函数f（x）=a^x+1-2的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．先研究f^-1（x）在[0，1]的单调性，得到当x取何值时，此函数取得最值，最后得到等式：f^-1（0）+f'（1）=0，解此关于a方程即可求得a值；
（II）由对数函数的图象可知，f^-1（x）的图象不经过第二象限的充要条件是f^-1（x）的图象与x轴的交点位于x轴的非负半轴上，从而列出等式求出图象与x轴交点横坐标x=a-2，令其非负即可求得a的取值范围．

解答：解：（I）因为a^x+1＞0，
所以f（x）的值域是{y|y＞-2}．（2分）
设y=a^x+1-2，解得x=log_a（y+2）-1．
当a＞1时，f^-1（x）=log_a（x+2）-1为（-2，+∞）上的增函数，（6分）
所以f^-1（0）+f'（1）=0即（log_a2-1）+（log_a3-1）=0
解得a=

6

．（4分）
（II）由（I）得f（x）的反函数为f^-1（x）=log_a（x+2）-1，（x＞-2），它的图象不过第二象限，
当a＞1时，函数f^-1（x）是（-2，+∞）上的增函数，且经过定点（-1，-1）．
所以f^-1（x）的图象不经过第二象限的充要条件是f^-1（x）的图象与x轴的交点位于x轴的非负半轴上．（11分）
令log_a（x+2）-1=0，解得x=a-2，
由a-2≥0，解得a≥2．（13分）

点评：本题考查反函数的求法、对数函数的图象变换及其性质，属于对数函数综合题目．