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已知圆C1x2+y2-2x-4y+4=0
(Ⅰ)若直线l:x+2y-4=0与圆C1相交于A,B两点.求弦AB的长;
(Ⅱ)若圆C2经过E(1,-3),F(0,4),且圆C2与圆C1的公共弦平行于直线2x+y+1=0,求圆C2的方程.
(Ⅲ)求证:不论实数λ取何实数时,直线l1:2λx-2y+3-λ=0与圆C1恒交于两点,并求出交点弦长最短时直线l1的方程.
分析:(Ⅰ)通过圆心到直线的距离,半径,半弦长满足勾股定理,求出弦AB的长;
(Ⅱ)法一:设出圆C2的方程,利用直线的平行的充要条件,以及圆经过的两个点得到方程组求法即可.
法二:设出圆心坐标,利用圆经过的两个点距离相等,圆心的连线与弦长所在在垂直,列出方程组即可求出圆的方程.
(Ⅲ)求出直线l1:2λx-2y+3-λ=0恒过的定点在圆C1内,判断弦长最短时直线l1的斜率,然后求出方程.
解答:解:(Ⅰ)圆C1x2+y2-2x-4y+4=0化为(x-1)2+(y-2)2=9,圆心坐标(1,2),半径为:r=3.
圆心到直线l的距离 d=
|1+4-4|
1+22
=
5
5
,-------------------(2分),
圆心到直线的距离d,半径r,半弦长满足勾股定理,
所以|AB|=2
1-
1
5
=
4
5
5
.-----------------------------(4分)
(Ⅱ)解法一:设圆C2的一般方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则公共弦所在的直线方程为:(D+2)x+(E+2)y+F=0,
所以
D+2
2
=
E+4
1
,即D=2E+6---------------------------------(6分)
又因为圆C2经过E(1,-3),F(0,4),
所以
1+9+D-3E+F=0
16+4E+F=0
D=2E+6
D=6
E=0
F=-16.
---(8分)
所以圆C2的方程为x2+y2+6x-16=0.---------------------------(10分)
解法二:设圆C2的圆心C2的坐标为(a,b),
则有
(a-1)2+(b+3)2
=
(a-0)2+(b-4)2
b-2
a-1
•(-2)=-1
-------------------(6分)
解得
a=-3
b=0
---------------------(8分)
设圆C2的半径r2=
(-3-1)2+(0+3)2
=5

所以圆C2的方程为(x+3)2+y2=25---------------------(10分)
(Ⅲ)将直线l1:2λx-2y+3-λ=0方程整理为:
λ(2x-1)-(2y-3)=0对于λ∈R恒成立,
所以
2x-1=0
2y-3=0
,即直线l1恒过定点P(
1
2
3
2
)
,------------------(12分)
由圆心C1(1,2),半径为1.
PC1=
(
1
2
-1)
2
+(
3
2
-2)
2
=
2
2
<1
P(
1
2
3
2
)
恒在圆C1内,
所以不论实数λ取何实数时,直线l1:2λx-2y+3-λ=0与圆C1恒交于两点-----(14分)
直线l1与圆C1恒交点弦长最短时,l1⊥PC1kPC1=1,直线l1的斜率为k1=-1
所以直线l1的方程为x+y-2=0,即为所求.----------------(16分)
点评:本题考查圆的方程的求法圆与圆的位置关系,直线与圆的位置关系的应用,考查计算能力.
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(2013•惠州二模)已知圆C1:x2+y2=2和圆C2,直线l与C1切于点M(1,1),圆C2的圆心在射线2x-y=0(x≥0)上,且C2经过坐标原点,如C2被l截得弦长为4
3

(1)求直线l的方程;
(2)求圆C2的方程.

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(1)求直线l的方程;
(2)若圆C2被直线l截得的弦长为8,求圆C2的方程.

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已知圆C1x2+y2=10与圆C2x2+y2+2x+2y-14=0
(1)求证:圆C1与圆C2相交;
(2)求两圆公共弦所在直线的方程;
(3)求经过两圆交点,且圆心在直线x+y-6=0上的圆的方程.

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已知圆C1:x2+(y+5)2=5,设圆C2为圆C1关于直线l对称的圆,则在x轴上是否存在点P,使得P到两圆的切线长之比为
2
?荐存在,求出点P的坐标;若不存在,试说明理由.

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(2013•宁波模拟)如图,已知圆C1x2+(y-1)2=4和抛物线C2:y=x2-1,过坐标原点O的直线与C2相交于点A、B,定点M坐标为(0,-1),直线MA,MB分别与C1相交于点D、E.
(1)求证:MA⊥MB.
(2)记△MAB,△MDE的面积分别为S1、S2,若
S1S2
,求λ的取值范围.

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同步练习册答案
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