Question

已知圆C1：x2+y2-2x-4y+4=0
（Ⅰ）若直线l：x+2y-4=0与圆C₁相交于A，B两点．求弦AB的长；
（Ⅱ）若圆C₂经过E（1，-3），F（0，4），且圆C₂与圆C₁的公共弦平行于直线2x+y+1=0，求圆C₂的方程．
（Ⅲ）求证：不论实数λ取何实数时，直线l₁：2λx-2y+3-λ=0与圆C₁恒交于两点，并求出交点弦长最短时直线l₁的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过圆心到直线的距离，半径，半弦长满足勾股定理，求出弦AB的长；
（Ⅱ）法一：设出圆C₂的方程，利用直线的平行的充要条件，以及圆经过的两个点得到方程组求法即可．
法二：设出圆心坐标，利用圆经过的两个点距离相等，圆心的连线与弦长所在在垂直，列出方程组即可求出圆的方程．
（Ⅲ）求出直线l₁：2λx-2y+3-λ=0恒过的定点在圆C₁内，判断弦长最短时直线l₁的斜率，然后求出方程．

解答：解：（Ⅰ）圆C1：x2+y2-2x-4y+4=0化为（x-1）²+（y-2）²=9，圆心坐标（1，2），半径为：r=3．
圆心到直线l的距离 d=

|1+4-4|

1+22

=

5

5

，-------------------（2分），
圆心到直线的距离d，半径r，半弦长满足勾股定理，
所以|AB|=2

1- 1 5

=

4 5

5

．-----------------------------（4分）
（Ⅱ）解法一：设圆C₂的一般方程为：x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则公共弦所在的直线方程为：（D+2）x+（E+2）y+F=0，
所以

D+2

2

=

E+4

1

，即D=2E+6---------------------------------（6分）
又因为圆C₂经过E（1，-3），F（0，4），
所以

1+9+D-3E+F=0 16+4E+F=0 D=2E+6

⇒

D=6 E=0 F=-16.

---（8分）
所以圆C₂的方程为x²+y²+6x-16=0．---------------------------（10分）
解法二：设圆C₂的圆心C₂的坐标为（a，b），
则有

(a-1)2+(b+3)2 = (a-0)2+(b-4)2 b-2 a-1 •(-2)=-1

-------------------（6分）
解得

a=-3 b=0

---------------------（8分）
设圆C₂的半径r2=

(-3-1)2+(0+3)2

=5
所以圆C₂的方程为（x+3）²+y²=25---------------------（10分）
（Ⅲ）将直线l₁：2λx-2y+3-λ=0方程整理为：
λ（2x-1）-（2y-3）=0对于λ∈R恒成立，
所以

2x-1=0 2y-3=0

，即直线l₁恒过定点P(

1

2

，

3

2

)，------------------（12分）
由圆心C₁（1，2），半径为1．
PC1=

( 1 2 -1)2+( 3 2 -2)2

=

2 2

＜1P(

1

2

，

3

2

)恒在圆C₁内，
所以不论实数λ取何实数时，直线l₁：2λx-2y+3-λ=0与圆C₁恒交于两点-----（14分）
直线l₁与圆C₁恒交点弦长最短时，l₁⊥PC₁kPC1=1，直线l₁的斜率为k₁=-1
所以直线l₁的方程为x+y-2=0，即为所求．----------------（16分）

点评：本题考查圆的方程的求法圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．