【题目】已知△ABC中,顶点A(1,0)、重心G垂心H
(1)求边BC所在直线的方程;
(2)求边AB、AC所在直线的方程;
(3)若P是△ABC内部(包括边界)一动点,求的最大值.
【答案】(1);(2),;(3)
【解析】
(1)设,求出BC的中点坐标和斜率,即可求出边BC所在直线的方程;
(2)设,设线段中点为D,利用与共线列一个方程,利用直线AB和直线CH垂直再列一个方程,两个方程解出即可求出B,C坐标,
进而可以求出边AB、AC所在直线的方程;
(3)设,通过计算得出,令,作出△ABC,观察图像可得取最大时所经过的点,代入即可求出最大值.
解:(1)设
则,
,
即BC的中点坐标为,又。
所以边BC所在直线的方程为,即;
(2)由(1)设,线段中点为D
则D点坐标为,且与共线,直线AB和直线CH垂直
又,
则,
解得:,则,
所以边AB的方程为,即,
边AC的方程为,即;
(3)若P是△ABC内部(包括边界)一动点,设,
,
令,则,
作出△ABC,如图:
要最大,当过点时可取最大值,
代入点,得,
即的最大值为.
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【题目】若三次函数()的图象上存在相互平行且距离为的两条切线,则称这两条切线为一组“距离为的友好切线组”.已知,则函数的图象上“距离为4的友好切线组”有( )组?
A. 0B. 1C. 2D. 3
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【题目】四棱锥的底面为直角梯形,,,,为正三角形.
(1)点为棱上一点,若平面,,求实数的值;
(2)求点B到平面SAD的距离.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:(1)由平面,可证,进而证得四边形为平行四边形,根据,可得;
(2)利用等体积法可求点到平面的距离.
试题解析:((1)因为平面SDM,
平面ABCD,
平面SDM 平面ABCD=DM,
所以,
因为,所以四边形BCDM为平行四边形,又,所以M为AB的中点.
因为,
.
(2)因为 , ,
所以平面,
又因为平面,
所以平面平面,
平面平面,
在平面内过点作直线于点,则平面,
在和中,
因为,所以,
又由题知,
所以,
由已知求得,所以,
连接BD,则,
又求得的面积为,
所以由点B 到平面的距离为.
【题型】解答题
【结束】
19
【题目】小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作,该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案:底薪100元,每派送一单奖励1元;乙方案:底薪140元,每日前55单没有奖励,超过55单的部分每单奖励12元.
(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪(单位:元)与送货单数的函数关系式;
(2)根据该公司所有派送员100天的派送记录,发现派送员的日平均派送单数满足以下条件:在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图,其中当某天的派送量指标在 时,日平均派送量为单.
若将频率视为概率,回答下列问题:
①根据以上数据,设每名派送员的日薪为(单位:元),试分别求出甲、乙两种方案的日薪的分布列,数学期望及方差;
②结合①中的数据,根据统计学的思想,帮助小明分析,他选择哪种薪酬方案比较合适,并说明你的理由.
(参考数据: , , , , , , , , )
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【题目】某校高一举行了一次数学竞赛,为了了解本次竞赛学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为)作为样本(样本容量为)进行统计,按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图,已知得分在[50,60),[90,100]的频数分别为8,2.
(1)求样本容量和频率分布直方图中的的值;
(2)估计本次竞赛学生成绩的中位数;
(3)在选取的样本中,从竞赛成绩在分以上(含分)的学生中随机抽取名学生,求所抽取的名学生中至少有一人得分在内的概率.
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【题目】甲、乙两家外卖公司,其送餐员的日工资方案如下:甲公司底薪70元,每单抽成2元;乙公司无底薪,40单以内(含40单)的部分每单抽成4元,超出40单的部分每单抽成6元.假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同,现从两家公司各随机抽取一名送餐员,并分别记录其100天的送餐单数,得到如下频数表:
甲公司送餐员送餐单数频数表
送餐单数 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 |
天数 | 20 | 40 | 20 | 10 | 10 |
乙公司送餐员送餐单数频数表
送餐单数 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 |
天数 | 10 | 20 | 20 | 40 | 10 |
(1)现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天,求这两天送餐单数都大于40的概率;
(2)若将频率视为概率,回答以下问题:
(i)记乙公司送餐员日工资为(单位:元),求的分布列和数学期望;
(ii)小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员,如果仅从日工资的角度考虑,请利用所学的统计学知识为他作出选择,并说明理由.
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【题目】已知集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9),在集合A中任取三个元素,分别作为一个三位数的个位数,十位数和百位数,记这个三位数为a,现将组成a的三个数字按从小到大排成的三位数记为I(a),按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a=219,则I(a)=129,D(a)=921),阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,任意输入一个a,则输出b的值为( )
A. 792 B. 693 C. 594 D. 495
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【题目】已知F为抛物线C:y2=2px(P>0)的焦点,过F垂直于x轴的直线被C截得的弦的长度为4.
(1)求抛物线C的方程.
(2)过点(m,0),且斜率为1的直线被抛物线C截得的弦为AB,若点F在以AB为直径的圆内,求m的取值范围.
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【题目】噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题,为了了解声音强度(单位:分贝)与声音能量(单位:)之间的关系,将测量得到的声音强度和声音能量(,2,…,10)数据作了初步处理,得到如图散点图及一些统计量的值.
表中,.
(1)根据散点图判断,与哪一个适宜作为声音强度关于声音能量的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据表中数据,求声音强度关于声音能量的回归方程;
(3)当声音强度大于60分贝时属于噪音,会产生噪音污染,城市中某点共受到两个声源的影响,这两个声源的声音能量分别是和,且.已知点的声音能量等于声音能量与之和.请根据(1)中的回归方程,判断点是否受到噪音污染的干扰,并说明理由.
附:对于一组数据,,…,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
,.
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