Question

已知圆．C1：x2+y2=

4

5

，直线l：y=x+m（m＞0）与圆C₁相切，且交椭圆C2：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)于A₁，B₁两点，c是椭圆C₂的半焦距，c=

3

b．
（l）求m的值；
（2）O为坐标原点，若

OA1

⊥

OB1

，求椭圆的方程；
（3）在（Ⅱ）的条件下，设椭圆C₂的左、右顶点分别为A，B，动点S（x₁，y₁）∈C₂（y₁＞0）直线AS，BS与直线x=

34

15

分别交于M，N两点，求线段MN的长度的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用直线l：y=x+m（m＞0）与圆C₁相切，根据点到直线的距离公式，可求m的值；
（2）直线l：y=x+

2 10

5

代入椭圆C2：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，根据

OA1

⊥

OB1

，利用韦达定理，可求椭圆的方程；
（3）椭圆C的左，右顶点坐标为A（-2，0），B（2，0），设直线AS的方程为y=k（x+2），从而M（

34

15

，

64k

15

），由

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，求出S的坐标，进而可求N的坐标，即可求出线段MN的长度的最小值．

解答：解：（1）∵直线l：y=x+m（m＞0）与圆C₁相切，
∴

|m|

2

=

4 5

，∴m=

2 10

5

；
（2）直线l：y=x+

2 10

5

代入椭圆C2：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，可得
（b²+a²）x²+

4 10

5

a2x+

8

5

a2-a²b²=0
设A₁（x₁，y₁），B₁（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

4 10 a2

5(b2+a2)

，x₁x₂=

8a2-5a2b2

5(b2+a2)

，y₁y₂=

40b2+25a2b2

25(a2+b2)

，
∵

OA1

⊥

OB1

，
∴x₁x₂+y₁y₂=

8a2-5a2b2

5(b2+a2)

+

40b2+25a2b2

25(a2+b2)

=0，
∴4（b²+a²）-5a²b²=0，
∵c=

3

b，
∴a²=4b²，
∴a=2，b=1，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1；
（3 ） 易知椭圆C的左，右顶点坐标为A（-2，0），B（2，0），直线AS的斜率k显然存在，且k＞0
故可设直线AS的方程为y=k（x+2），从而M（

34

15

，

64k

15

）
由

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0
设S（x₀，y₀），则(-2)x0=

16k2-4

1+4k2

，得x₀=

2-8k2

1+4k2

，
从而y0=

4k

1+4k2

，即S（

2-8k2

1+4k2

，

4k

1+4k2

）．
又B（2，0），故直线BS的方程为y=-

1

4k

（x-2），
x=

34

15

时，y=-

1

15k

，
∴N（

34

15

，-

1

15k

），
又k＞0，∴|MN|=

64k

15

+

1

15k

≥2

64k 15 • 1 15k

=

16

15

，
当且仅当

64k

15

=

1

15k

时，即k=

1

8

时等号成立
∴k=

1

8

时，线段MN的长度取最小值

16

15

．

点评：本题考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．