分析 先求出m的最小值为-1,可得f(x)解析式,分析f(x)的对称中心即为所求.
解答 解:由f(x)=$\frac{1}{3}$x3+$\frac{m+1}{2}{x}^{2}$+2+$\frac{1}{x}$在[1,+∞)上单调递增,f'(x)=x2+(m+1)x-$\frac{1}{{x}^{2}}$.
∵f(x)是[1,+∞)上的增函数,∴f′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,即x2+(m+1)x-$\frac{1}{{x}^{2}}$≥0在[1,+∞)上恒成立.
所以m+1≥$\frac{1}{{x}^{4}}-x$,设g(x)=$\frac{1}{{x}^{4}}-x$,显然在[1,+∞)上单调递减,
因此g(x)的最大值为g(1)=0,所以m+1≥0,所以m≥-1.
所以m 的最小值为-1,
故得f(x)=$\frac{1}{3}$x3+2+$\frac{1}{x}$,x∈(-∞,0)∪(0,+∞).
将函数f(x)的图象向下平移2个长度单位,所得图象相应的函数解析式为p(x)=$\frac{1}{3}$x3+$\frac{1}{x}$,x∈(-∞,0)∪(0,+∞).
由于p(-x)=-p(x),所以p(x)为奇函数,故p(x)的图象关于坐标原点成中心对称.
由此即得函数f(x)的图象关于点Q(0,2)成中心对称.
这表明存在点Q(0,2),使得过点Q的直线若能与函数g(x)的图象围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等.
故答案为:(0,2).
点评 本题考查导数知识的运用,恒成立问题以及函数图象的对称性,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 1 | B. | $\frac{2}{5}$ | C. | -$\frac{2}{5}$ | D. | -1 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 10 | B. | 9 | C. | 8 | D. | 7 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 第一种 | B. | 第二种 | C. | 都一样 | D. | 不确定 |
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