Question

11．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{m+1}{2}{x}^{2}$+2+$\frac{1}{x}$在[1，+∞）上单调递增，当实数m取得最小值时，若存在点Q，使得过点Q的直线与曲线y=f（x）围成两个封闭图形时，这两个封闭图形的面积总相等，则点Q的坐标为（0，2）．

Answer 1

分析 先求出m的最小值为-1，可得f（x）解析式，分析f（x）的对称中心即为所求．

解答 解：由f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{m+1}{2}{x}^{2}$+2+$\frac{1}{x}$在[1，+∞）上单调递增，f'（x）=x²+（m+1）x-$\frac{1}{{x}^{2}}$．
∵f（x）是[1，+∞）上的增函数，∴f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即x²+（m+1）x-$\frac{1}{{x}^{2}}$≥0在[1，+∞）上恒成立．
所以m+1≥$\frac{1}{{x}^{4}}-x$，设g（x）=$\frac{1}{{x}^{4}}-x$，显然在[1，+∞）上单调递减，
因此g（x）的最大值为g（1）=0，所以m+1≥0，所以m≥-1．
所以m 的最小值为-1，
故得f（x）=$\frac{1}{3}$x³+2+$\frac{1}{x}$，x∈（-∞，0）∪（0，+∞）．
将函数f（x）的图象向下平移2个长度单位，所得图象相应的函数解析式为p（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{x}$，x∈（-∞，0）∪（0，+∞）．
由于p（-x）=-p（x），所以p（x）为奇函数，故p（x）的图象关于坐标原点成中心对称．
由此即得函数f（x）的图象关于点Q（0，2）成中心对称．
这表明存在点Q（0，2），使得过点Q的直线若能与函数g（x）的图象围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等．
故答案为：（0，2）．

点评 本题考查导数知识的运用，恒成立问题以及函数图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．