Question

已知函数f（x）是R上的偶函数，且f（x+1）•f（x-1）=1，f（x）＞0恒成立，则f（2011）=

1

．

Answer 1

分析：由题意，可根据f（x+1）•f（x-1）=1，f（x）＞0恒成立解出函数的周期为4及f（1）=f（-1）=1，再由周期性得出f（2011）=f（-1）即可求出f（2011）的值

解答：解：由f（x+1）•f（x-1）=1知，函数自变量相差2，函数值互为倒数，故函数周期是4
再令x=0可得f（1）•f（-1）=1，又f（x）＞0恒成立
所以f（1）=f（-1）=1
∵2011=503×4-1
∴f（2011）=f（-1）=1
故答案为1

点评：本题考查函数奇偶性的性质，解题的关键是充分利用恒等式求出函数的周期以及某些函数值，利用题设中的恒等式求出函数的周期及通过赋值求出f（-1）=1是解题的难点．本题考查了观察分析的能力及灵活变形的能力．