Question

（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）讨论函数在定义域内的极值点的个数；
（Ⅱ）若函数在处取得极值，对,恒成立，
求实数的取值范围；
（Ⅲ）当且时，试比较的大小．

Answer 1

（Ⅰ）当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点（Ⅱ）（Ⅲ）当时，，当时，.

解析试题分析：（Ⅰ）由已知得，
所以当时，在上恒成立，函数 在单调递减，
∴在上没有极值点；
当时，由得，得，
∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．
∴当时在上没有极值点，
当时，在上有一个极值点．                               ……3分
（Ⅱ）∵函数在处取得极值，∴，
∴，                                        ……5分
令，可得在上递减，在上递增，
∴，即．                                 ……7分
（Ⅲ）由(Ⅱ)知在(0,e²)上单调减，
∴时，，
即.
当时，，∴， ∴，
当时，，∴, ∴.
……12分
考点：本小题主要考查利用导数判断极值点的个数、利用导数解决恒成立问题和利用导数证明不等式等问题，考生学生的逻辑思维能力和运算求解能力.
点评：导数是研究函数性质的一个比较好的工具，给出函数可以利用导数考查函数的性质，恒成立问题可以转化为最值问题来解决，如果最值不好求，可以构造新函数再次利用导数求解，一定要灵活运用导数，使导数的功能完全发挥出来.