Question

10．己知函数f（x）满足f（1）=$\frac{1}{4}$，对任意x，y∈R都有4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y），则f（2017）=（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 根据条件判断函数f（x）是周期函数，利用函数的周期性进行求解即可．

解答 解：取x=1，y=0得$f（0）=\frac{1}{2}$
法一：根据已知知$f（1）=\frac{1}{4}$
取x=1，y=1得f（2）=-$\frac{1}{4}$
取x=2，y=1得f（3）=-$\frac{1}{2}$
取x=2，y=2得f（4）=-$\frac{1}{4}$
取x=3，y=2得f（5）=$\frac{1}{4}$
取x=3，y=3得f（6）=$\frac{1}{2}$
猜想得周期为6；
法二：取x=1，y=0得$f（0）=\frac{1}{2}$
取x=n，y=1，有f（n）=f（n+1）+f（n-1），
同理f（n+1）=f（n+2）+f（n）
联立得f（n+2）=-f（n-1）
所以f（n）=-f（n+3）=f（n+6）
所以函数是周期函数，周期T=6，
故f（2017）=f（336×6+1）=f（1）=$\frac{1}{4}$，
故选：A．

点评 本题主要考查函数值的计算，准确找出周期是此类问题（项数很大）的关键，分别可以用归纳法和演绎法得出周期，解题时根据自己熟悉的方法得出即可．