Question

18．如图，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，短轴端点与椭圆的两个焦点所构成的三角形面积为1，过点D（0，2）且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在定点$E（0，\frac{11}{4}）$，使$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BE}$恒为定值．若存在求出这个定值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的性质列方程解出a，b；
（2）联立方程组消元，得出A，B坐标的关系，代入向量的数量积公式计算即可．

解答 解：（1）根据$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，bc=1$，
解得$a=\sqrt{2}，b=c=1$，
椭圆C的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立方程得，$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y=kx+2\end{array}\right.$，
消y得（1+2k²）x²+8kx+6=0，
则x₁+x₂=-$\frac{8k}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{6}{1+2{k}^{2}}$．
又∴y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=-$\frac{2{k}^{2}-4}{2{k}^{2}+1}$，
y₁+y₂=（kx₁+2）+（kx₂+2）=k（x₁+x₂）+4=$\frac{4}{2{k}^{2}+1}$．
∵$\overrightarrow{EA}=（{x_1}，{y_1}-\frac{11}{4}），\overrightarrow{EB}=（{x_2}，\frac{11}{4}-{y_2}）$，
∴$\overrightarrow{EA}•\overrightarrow{EB}={x_1}{x_2}+\frac{121}{16}-\frac{11}{4}（{y_1}+{y_2}）$=$\frac{6}{{2{k^2}+1}}+\frac{121}{16}-\frac{11}{4}×\frac{4}{{2{k^2}+1}}-\frac{{2{k^2}-4}}{{2{k^2}+1}}$
=$\frac{{105（2{k^2}+1）}}{{16（2{k^2}+1）}}=\frac{105}{16}$．
故$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BE}$恒为定值$\frac{105}{16}$．

点评 本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．