Question

8．在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且a²sinB+（a²+b²-c²）sinA=0，tanA=$\frac{\sqrt{2}sinB+1}{\sqrt{2}cosB+1}$，则A等于（　　）

• A． $\frac{5π}{24}$
• B． $\frac{7π}{24}$
• C． $\frac{5π}{36}$
• D． $\frac{7π}{36}$

Answer 1

分析 利用正弦、余弦定理，化简a²sinB+（a²+b²-c²）sinA=0，求出角C的值，再用B表示出A，代入tanA=$\frac{\sqrt{2}sinB+1}{\sqrt{2}cosB+1}$，利用三角恒等变换求出B的值，即可得出A的值．

解答 解：△ABC中，a²sinB+（a²+b²-c²）sinA=0，
∴a²sinB+2ab•cosC•sinA=0，
a•sinB+2b•cosC•sinA=0，
sinA•sinB+2sinB•cosC•sinA=0，
cosC=-$\frac{1}{2}$，且0＜C＜π，
∴C=$\frac{2π}{3}$；
∴A=$\frac{π}{3}$-B，
又tanA=$\frac{\sqrt{2}sinB+1}{\sqrt{2}cosB+1}$，
∴$\frac{sin（\frac{π}{3}-B）}{cos（\frac{π}{3}-B）}$=$\frac{\sqrt{2}sinB+1}{\sqrt{2}cosB+1}$，
sin（$\frac{π}{3}$-B）•$\sqrt{2}$cosB+sin（$\frac{π}{3}$-B）=cos（$\frac{π}{3}$-B）•$\sqrt{2}$sinB+cos（$\frac{π}{3}$-B），
∴$\sqrt{2}$[sin（$\frac{π}{3}$-B）cosB-cos（$\frac{π}{3}$-B）sinB]=cos（$\frac{π}{3}$-B）-sin（$\frac{π}{3}$-B），
即$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{3}$-2B）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{3}$+B），
∴$\frac{π}{3}$-2B=B-$\frac{π}{12}$，
解得B=$\frac{5π}{36}$，
∴A=$\frac{π}{3}$-$\frac{5π}{36}$=$\frac{7π}{36}$．
故选：D．

点评 本题考查了三角恒等变换的应用问题，也考查了正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目．