【题目】设函数fn(x)=﹣1+x+ + +…+ (x∈R,n∈N+),证明:
(1)对每个n∈N+ , 存在唯一的x∈[ ,1],满足fn(xn)=0;
(2)对于任意p∈N+ , 由(1)中xn构成数列{xn}满足0<xn﹣xn+p< .
【答案】
(1)证明:对每个n∈N+,当x>0时,由函数fn(x)=﹣1+x+ ),可得
f′(x)=1+ + +… >0,故函数f(x)在(0,+∞)上是增函数.
由于f1(x1)=0,当n≥2时,fn(1)= + +…+ >0,即fn(1)>0.
又fn( )=﹣1+ +[ + + +…+ ]≤﹣ +
=﹣ + × =﹣ <0,
根据函数的零点的判定定理,可得存在唯一的xn ,满足fn(xn)=0
(2)证明:对于任意p∈N+,由(1)中xn构成数列{xn},当x>0时,∵fn+1(x)=fn(x)+ >fn(x),
∴fn+1(xn)>fn(xn)=fn+1(xn+1)=0.
由 fn+1(x) 在(0,+∞)上单调递增,可得 xn+1<xn,即 xn﹣xn+1>0,故数列{xn}为减数列,即对任意的 n、p∈N+,xn﹣x/span>n+p>0.
由于 fn(xn)=﹣1+xn+ + +…+ =0 ①,
fn+p (xn+p)=﹣1+xn+p+ + +…+ +[ + +…+ ]②,
用①减去②并移项,利用 0<xn+p≤1,可得
xn﹣xn+p= + ≤ ≤ < = < .
综上可得,对于任意p∈N+,由(1)中xn构成数列{xn}满足0<xn﹣xn+p<
【解析】(1)由题意可得f′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上是增函数.求得fn(1)>0,fn( )<0,再根据函数的零点的判定定理,可得要证的结论成立.(2)由题意可得fn+1(xn)>fn(xn)=fn+1(xn+1)=0,由 fn+1(x) 在(0,+∞)上单调递增,可得 xn+1<xn , 故xn﹣xn+p>0.用 fn(x)的解析式减去fn+p (xn+p)的解析式,变形可得xn﹣xn+p= + ,再进行放大,并裂项求和,可得它小于 ,综上可得要证的结论成立.
【考点精析】本题主要考查了基本求导法则和数列的前n项和的相关知识点,需要掌握若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导;数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题.
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【题目】已知函数的图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A. 函数的周期为
B. 函数在上单调递增
C. 函数的图象关于点对称
D. 把函数的图象向右平移个单位,所得图象对应的函数为奇函数
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【题目】随着支付宝、微信等支付方式的上线,越来越多的商业场景可以实现手机支付.有关部门为了了解各年龄段的人使用手机支付的情况,随机调查了50次商业行为,并把调查结果制成下表:
年龄(岁) | ||||||
频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
手机支付 | 4 | 6 | 10 | 6 | 2 | 0 |
(1)若把年龄在的人称为中青年,年龄在的人称为中老年,请根据上表完成以下列联表;并判断是否可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下,认为使用手机支付与年龄(中青年、中老年)有关系?
手机支付 | 未使用手机支付 | 总计 | |
中青年 | |||
中老年 | |||
总计 |
(2)若从年龄在的被调查中随机选取2人进行调查,记选中的2人中,使用手机支付的人数为,求的分布列及数学期望.
参考公式:,其中.
独立性检验临界值表:
0.15 | 0.10 | 0.005 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】已知六棱锥的底面是正六边形,平面,.则下列命题中正确的有_____.(填序号)
①PB⊥AD;
②平面PAB⊥平面PAE;
③BC∥平面PAE;
④直线PD与平面ABC所成的角为45°.
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【题目】某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为和(万元),它们与投入资金(万元)的关系有如下公式:,,今将200万元资金投入生产甲、乙两种产品,并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于25万元.
(Ⅰ)设对乙种产品投入资金(万元),求总利润(万元)关于的函数关系式及其定义域;
(Ⅱ)如何分配投入资金,才能使总利润最大,并求出最大总利润.
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【题目】2016年9月15日,天宫二号实验室发射成功.借天宫二号东风,某厂推出品牌为“玉兔”的新产品.生产“玉兔”的固定成本为20000元,每生产一件“玉兔”需要增加投入100元.根据初步测算,总收益(单位:元)满足分段函数,其中,是“玉兔”的月产量(单位:件),总收益=总成本+利润.
(I)试将利润元表示为月产量的函数;
(II)当月产量为多少件时利润最大?最大利润是多少?
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【题目】如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左右焦点分别为F1 , F2 , 线段OF1 , OF2的中点分别为B1 , B2 , 且△AB1B2是面积为4的直角三角形.
(1)求该椭圆的离心率和标准方程;
(2)过B1做直线l交椭圆于P,Q两点,使PB2⊥QB2 , 求直线l的方程.
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【题目】现有4个人去参加娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;
(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;
(3)用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记ξ=|X﹣Y|,求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ.
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