Question

13．为监测全市小学生身体形态生理机能的指标情况，体检中心从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：厘米）数据分成如下5个组：[100，110），[110，120），…，[140，150），并绘制成频率分布直方图（如图所示）．
（Ⅰ）若该校共有学生1000名，试估计身高在[100，130）之间的人数；
（Ⅱ）在抽取的100名学生中，按分层抽样的方法从身高为：[100，110），[130，140），[140，150）3个组的学生中选取7人参加一项身体机能测试活动，并从这7人中任意抽取2人进行定期跟踪测试，求这2人取自不同组的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率分布图中小矩形面积之和为1的性质，先求出a=0.030，从而求出身高在[110，130）之间的频率，由此能求出身高在[110，130）之间的人数．
（Ⅱ）该学校学生身高在[100，110），[130，140），[140，150）内的频率分别是0.05，0.2，0.1，这三个组的人数分别为5人，20人，10人，共35人，这三个组分别为A组，B组，C组．从A组抽取人数1人，B组抽取4人，C组抽取2人，利用列举法能求出任意抽取2人，这2人取自不同身高组的概率．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由 （0.005+0.035+a+0.020+0.010）×10=1，解得a=0.030．（1分）
所以身高在[110，130）之间的频率为：（0.035+0.030）×10=0.65，
所以身高在[110，130）之间的人数为：0.65×100=65人．
（Ⅱ）估计该学校学生身高在[100，110），[130，140），[140，150）内的频率分别是0.05，0.2，0.1，
所以这三个组的人数分别为5人，20人，10人，共35人．（4分）
记这三个组分别为A组，B组，C组．
则A组抽取人数为$5×\frac{7}{35}=1，记为{A_1}$；
B组抽取人数为$20×\frac{7}{35}=4，记为{B_1}，{B_2}，{B_3}，{B_4}$；
C组抽取人数为$10×\frac{7}{35}=2，记为{C_1}，{C_2}$，（6分）
设“任意抽取2人，这2人取自不同身高组”为事件M，
则所有的基本事件空间为：
$\begin{array}{l}Ω=\{（{{A_1}，{B_1}}），（{{A_1}，{B_2}}），（{{A_1}，{B_3}}），（{{A_1}，B{\;}_4}），（{{A_1}，{C_1}}），（{{A_1}，{C_2}}），\\（{{B_1}，{B_2}}），（{{B_1}，{B_3}}），（{{B_1}，B{\;}_4}），（{{B_1}，{C_1}}），（{{B_1}，{C_2}}），（{{B_2}，{B_3}}），（{{B_2}，B{\;}_4}），\\（{{B_2}，{C_1}}），（{{B_2}，{C_2}}），（{{B_3}，B{\;}_4}），（{{B_3}，{C_1}}），（{{B_3}，{C_2}}），（{{B_4}，{C_1}}），（{{B_4}，{C_2}}），（{{C_1}，{C_2}}）\}\end{array}$
共21个元素，（8分）
事件M包含的基本事件有：
（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，B₃），（A₁，B₄），（A₁，C₁），（A₁，C₂），（B₁，C₁），（B₁，C₂），
（B₂，C₁），（B₂，C₂），（B₃，C₁），（B₃，C₂），（B₄，C₁），（B₄，C₂），共14个，（10分）
所以这2人取自不同组的概率$P（M）=\frac{14}{21}=\frac{2}{3}$．（12分）

点评 本题考查概率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．