Question

设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y-2=0与圆（x-1）²+（y-1）²=1相切，则m+n的取值范围是

（-∞，2-2

2

]∪[2+2

2

，+∞）

．

Answer 1

分析：由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n=x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．

解答：解：由圆的方程（x-1）²+（y-1）²=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，
∵直线（m+1）x+（n+1）y-2=0与圆相切，
∴圆心到直线的距离d=

|m+n|

(m+1)2+(n+1)2

=1，
整理得：m+n+1=mn≤（

m+n

2

）^₂，
设m+n=x，则有x+1≤

x2

4

，即x²-4x-4≥0，
∵x²-4x-4=0的解为：x₁=2+2

2

，x₂=2-2

2

，
∴不等式变形得：（x-2-2

2

）（x-2+2

2

）≥0，
解得：x≥2+2

2

或x≤2-2

2

，
则m+n的取值范围为（-∞，2-2

2

]∪[2+2

2

，+∞）．
故答案为：（-∞，2-2

2

]∪[2+2

2

，+∞）．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，基本不等式，以及一元二次不等式的解法，利用了转化及换元的思想，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．