Question

18．已知函数y=g（x）的图象过点（4，5），且在R上单调递增．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{g}^{-1}（x+2）（x≥3）}\\{（a-1）x+1（x＜3）}\end{array}\right.$存在反函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由互为反函数的两函数的图象关于直线y=x对称，可得g^-1（x）递增，g^-1（x+2）递增，由反函数存在的条件可得，f（x）在R上递增，则a-1＞0，①，4≥3（a-1）+1，即a≤2，②，求出它们的交集，即可得到所求范围．

解答 解：由互为反函数的两函数的图象关于直线y=x对称，
可得函数g^-1（x）与g（x）的单调性相同，可得g^-1（x）递增，
由平移不改变单调性，可得g^-1（x+2）递增，
由函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{g}^{-1}（x+2）（x≥3）}\\{（a-1）x+1（x＜3）}\end{array}\right.$存在反函数，
可得f（x）在R上递增，则a-1＞0，①
又g（4）=5，可得g^-1（5）=4，则4≥3（a-1）+1，即a≤2，②
由①②可得a的范围是1＜a≤2．

点评 本题考查互为反函数的图象的特点，以及存在反函数的条件，考查函数的单调性的判断和运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．