Question

已知椭圆：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为e=

2 2

3

，M为椭圆上一点，P（0，a），求PM的最大值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：首先利用离心率

c

a

=

2 2

3

，把椭圆方程转化为：x²+9y²=9b²，进一步利用两点间的距离求出|PM|的关系式，最后用二次函数的最值进行求最大值．

解答： 解：设M（x，y）为椭圆上一点，椭圆：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为e=

2 2

3

，
则：e=

c

a

=

2 2

3

根据椭圆中a²=b²+c²
解得：

b

a

=

1

3

，
所以椭圆方程转化为：x²+9y²=9b²，
x²=9b²-9y²，
由于P（0，a）
则：|PM|=

(x-0)2+(y-a)2

=

-8y2-2ay+a2+9b2

=

-8y2-2ay+2a2

，
要求|PM|_max只需求出(

-8y2-2ay+2a2

)max即可，
进一步只要求出g（y）=-8y²-2ay+2a²的最大值即可．
根据二次函数的性质和-b≤y≤b的取值范围，
解得：当y=-

a

8

时，g(y)max=

34

4

a，
即M（±

55

8

a，-

a

8

），g(y)max=

34

4

a，
即|PM|的最大值为：

34

4

a．

点评：本题考查的知识要点：离心率在椭圆方程中的应用，两点间的距离公式，及二次函数的最值问题．