Question

已知正整数列{a_n}的前n项和为S_n,且对任意的正整数n满足2=a_n+1.

(1)求数列{a_n}的通项公式;

(2)设b_n=,求数列{b_n}的前n项和B_n.

Answer 1

(1) 数列{a_n}是首项为1,公差为2的等差数列.

∴a_n=1+(n-1)×2=2n-1.

(2) (1-)=-.

解析:

(1)∵对任意的正整数n,2=a_n+1                         ①

    恒成立,

    当n=1时,2=a₁+1,即(-1)²=0,

∴a₁=1.

    当n≥2时,有2=a_n-1+1.                             ②

①²-②²得4a_n=a_n²-a_n-1²+2a_n-2a_n-1,

    即(a_n+a_n-1)(a_n-a_n-1-2)=0.∵a_n>0,∴a_n+a_n-1>0.∴a_n-a_n-1=2.

∴数列{a_n}是首项为1,公差为2的等差数列.

∴a_n=1+(n-1)×2=2n-1.

(2)∵a_n+1=2n+1,

∴b_n==(-).

∴B_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=(1-)+(-)+(-)+…+(-)

=(1-)=-.