Question

【题目】已知A、B、C是抛物线y2=2px（p＞0）上三个不同的点，且AB⊥AC．

（Ⅰ）若A（1，2），B（4，﹣4），求点C的坐标；
（Ⅱ）若抛物线上存在点D，使得线段AD总被直线BC平分，求点A的坐标．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵A（1，2）在抛物线y2=2px（p＞0）上，∴p=2，

设C（ ，t），则由AB⊥AC，得kABkAC=﹣1，

∵A（1，2），B（4，﹣4），kABkAC=﹣1，

∴kABkAC= × =﹣1，

解得t=6，即C（9，6）．

（Ⅱ）设A（x0，y0），B（ ），C（ ），

则直线BC的方程为（y1+y2）（y+y0）=2p（x﹣2p﹣x0），

故直线BC恒过点E（x0+2p，﹣y0），

∴直线AE的方程为y=﹣ （x﹣x0）+y0，

代入抛物线方程y2=2px（p＞0），得点D的坐标为（ ，﹣ ），

∵线段AD总被直线BC平分，

∴ ，解得 ，

∴点A的坐标A（ ）．

【解析】（Ⅰ）由A（1，2）在抛物线上，求出p=2，设C（ ，t），则由kABkAC=﹣1，解得t=6，由此能求出C点坐标．（Ⅱ）设A（x0，y0），B（ ），C（ ），则直线BC的方程为（y1+y2）（y+y0）=2p（x﹣2p﹣x0），从而直线BC恒过点E（x0+2p，﹣y0），直线AE的方程为y=﹣ （x﹣x0）+y0，代入抛物线方程，得D（ ，﹣ ），利用线段AD总被直线BC平分，能求出点A的坐标．