Question

（Ⅰ）已知圆O：x²+y²=4和点M（1，a），若实数a＞0且过点M有且只有一 条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；
（Ⅱ）过点（

2

，0）引直线l与曲线y=

1-x2

相交于A，B两点，O为坐标原点，当△ABO的面积取得最大值时，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）由条件知点M（1，a）在圆0上求得a的值，求得OM的斜率k_OM=

3

，可得切线的斜率，再用点斜式求得切线方程．
（Ⅱ）化简曲线方程，设直线l的斜率为k，则-1＜k＜0，直线l的方程即 kx-y-

2

k=0．求出圆心O到直线l的距离d的值，可得半弦长，求得三角形的面积解析式．令t=

1

k2+1

，则S△ABO=

-4t2+6t-2

，再利用二次函数的性质求得三角形的面积的最大值，以及此时k的值，从而求得直线l的方程．

解答：解：（I）由条件知点M（1，a）在圆0上，∴1+a²=4，∴a=±

3

．
又∵a＞0，∴a=

3

．
∴k_OM=

3

，故切线的斜率 k_切线=-

3

3

，
∴切线方程为y-

3

=-

3

3

(x-1)，即：

3

x+3y-4

3

=0．
（Ⅱ）由曲线y=

1-x2

，可得 x²+y²=1 （y≥0）．
设直线l的斜率为k，要保证直线l与曲线有2个交点，且与x轴不重合，则-1＜k＜0，
直线l的方程为 y-0=k（x-

2

），即 kx-y-

2

k=0．
圆心O到直线l的距离为d=

|0-0- 2 k|

k2+1

=

- 2 k

k2+1

，故半弦长为

1+( - 2 k k2+1 )2

=

1-k2 k2+1

，
∴S△ABO=

- 2 k

k2+1

•

1-k2 k2+1

=

2k2(1-k2) (k2+1)2

=

-2(k2+1)2+6(k2+1)-4 (k2+1)2

=

- 4 (k2+1)2 + 6 k2+1 -2

．
令t=

1

k2+1

，则S△ABO=

-4t2+6t-2

，
故当t=

3

4

，即

1

k2+1

=

3

4

时，S_△ABo取最大值为

1

2

，此时由

1

k2+1

=

3

4

，可得k=-

3

3

，
∴直线l的方程为：-

3

3

x-y+

6

3

=0，即

3

x+3y-

6

=0．

点评：考查直线与圆的方程的应用，点到直线的距离公式以及弦长公式的应用，着重考查分类讨论思想与转化思想，属于难题．