Question

11．已知函数f（x）=e^x+mx²．
（1）若m=1，求曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）若存在实数m，n，使得f（x）-n≥0（m，n∈R）恒成立，求m-n的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（0），f′（0），求出切线方程即可；
（2）利用不等式恒成立，转化为求函数的最值，求函数的导数，判断函数的单调性求函数的最值进行求解

解答 解：（1）m=1时，f（x）=e^x+x²，f′（x）=e^x+2x，
f（0）=1，f′（0）=1，
故切线方程是：y=x+1；
（2）g（x）=f′（x）=e^x+2mx，g′（x）=e^x+2m，
①当m＜0时，则当x＜0时，g（x）＞0，
即函数f（x）在（-∞，0）上单调递增，且当x→-∞时，f（x）→-∞，这与f（x）≥n矛盾；
②当m=0，由e^x≥n，得n≤0，∴m-n≥0；
③当m＞0，g′（x）＞0，∴函数g（x）在（-∞，+∞）上的单调递增，
又g（-$\frac{1}{2m}$）=e-$\frac{1}{2m}$-1＜0，g（0）=1＞0，
∴存在唯一的x₀∈（-$\frac{1}{2m}$，0），使得g（x₀）=0；
当x∈（-∞，x₀）时，g（x）＜0；当x∈（x₀，+∞）时，g（x）＞0；
即f（x）在（-∞，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增，
∴f（x）的最小值为f（x₀），
其中x₀满足e^x₀+2mx₀=0，故m=-$\frac{{e}^{{x}_{0}}}{{2x}_{0}}$且x₀＜0，
∵f（x）≥n恒成立，∴n≤f（x₀），
即-n≥-e^x₀-mx₀²，于是m-n≥-e^x₀-mx₀²=-e^x₀（1+$\frac{1}{{2x}_{0}}$-$\frac{{x}_{0}}{2}$），
记h（x）=-e^x（1+$\frac{1}{2x}$-$\frac{x}{2}$），x＜0，
则h′（x）=$\frac{1}{{2x}^{2}}$e^x（x-1）²（x+1），
由h′（x）＜0得x＜-1，即函数h（x）在（-∞，-1）上单调时递减，
由h′（x）＞0得-1＜x＜0，即函数h（x）在（-1，0）上单调递增，
∴h（x）_min=h（-1）=-$\frac{1}{e}$，
综上得m-n的最小值为-$\frac{1}{e}$，此时x₀=-1．

点评 本题主要考查函数单调性和最值的应用，结合函数零点的判定定理进行转化，求函数的导数是解决本题的关键．考查学生的运算和转化能力．