Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，过右焦点F且倾斜角为

π

3

的直线与C相交于A、B两点，且3

AF

=5

FB

．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若△ABF₁的面积小于等于

8 3

5

（F₁为左焦点），求弦AB长度的取值范围．

Answer 1

分析：（1）分别过A，B作准线的垂线，垂足为A₁，B₁由直线AB的倾斜角为

π

3

可得，2（AA₁-BB₁）=AB=AF+BF=e（AA₁+BB₁），再由3

AF

=5

FB

 可得3AA₁=5BB₁，从而结合定义可求离心率e
（2）由

x2

c2

+

y2

3 c2

=1及y= 

3

(x-c)可得15x²-24cx=0，而S△ABF1=

1

2

FF1•|yB-yA|=

1

2

×2c×

8 3 c

5

≤

8 3

5

可得c≤1，结合AB=

(xA-xB)2

+

(yA-yB)2

可求

解答：解：分别过A，B作准线的垂线，垂足为A₁，B₁
因为直线AB的倾斜角为

π

3

所以2（AA₁-BB₁）=AB=AF+BF=e（AA₁+BB₁）
由3

AF

=5

FB

 可得3AA₁=5BB₁
所以e=

1

2

（2）由

x2

c2

+

y2

3 c2

=1及y= 

3

(x-c)可得15x²-24cx=0
所以，xA=0，xB=

8c

5

因为S△ABF1=

1

2

FF1•|yB-yA|=

1

2

×2c×

8 3 c

5

≤

8 3

5

可得c≤1
又因为AB=

(xA-xB)2

+

(yA-yB)2

，所以AB≤

16

5

点评：求圆锥曲线的方程一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的位置关系一般讲直线的方程与圆锥曲线的方程联立消去一个未知数得到关于另一个未知数的二次方程，利用韦达定理得到交点的坐标的关系，作为突破口来找思路．