Question

在平面内，已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两个焦点为F₁，F₂，椭圆的离心率为

3

2

，P点是椭圆上任意一点，且|PF₁|+|PF₂|=4，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）以椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的等腰直角三角形是否存在？若存在请说明有几个、并求出直角边所在直线方程？若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意得

2a=4 c a = 3 2

，由此能求出椭圆方程．
（2）设BA的直线方程为设y=kx+1，（不妨设k＞0）．由

y=kx+1 x2 4 + y2 1 =1

，得（1+4k²）x²+8kx=0，由此分别用k表示出AB和BC的长，再由AB=BC，求出直角边所在直线方程．

解答：解：（1）由题意得

2a=4 c a = 3 2

，∴

a=2 c= 3

，∴b=1，
∴方程为：

x2

4

+

y2

1

=1．（5分）
（2）设BA的直线方程为设y=kx+1，（不妨设k＞0）
由

y=kx+1 x2 4 + y2 1 =1

，得（1+4k²）x²+8kx=0，
∴x1=0，x2=

-8k

4k2+1

，（7分）
∴A(

-8k

4k2+1

，

-8k2

4k2+1

+1)，
∴AB=

( -8k 4k2+1 )2+( -8k2 4k2+1 )2

=

8k

4k2+1

k2+1

，
∴BC=

8 k2+1

k2+4

，
由AB=BC，得k（k²+4）=4k²+1，
即（k-1）（k²-3k+1）=0，即k=1或k=

3± 5

2

所以，存在3个等腰直角三角形．
直角边所在直线方程为y=±x+1，y=

±3+ 5

2

x+1，y=

±3- 5

2

x+1．…（15分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查等腰直角三角形个数的判断和直角边所在直线方程的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．