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设函数f(x)=6lnx+ax2-10ax+25a,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
考点:利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值
专题:导数的概念及应用,导数的综合应用
分析:(1)先由所给函数的表达式,求导数fˊ(x),再根据导数的几何意义求出切线的斜率,最后由曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)列出方程求a的值即可;
(2)由(1)求出的原函数及其导函数,求出导函数的零点,把函数的定义域分段,判断导函数在各段内的符号,从而得到原函数的单调区间,根据在各区间内的单调性求出极值点,把极值点的横坐标代入函数解析式求得函数的极值.
解答: 解:(1)因f(x)=a(x-5)2+6lnx,故f′(x)=2a(x-5)+
6
x
,(x>0),
令x=1,得f(1)=16a,f′(1)=6-8a,
则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1),
由切线与y轴相交于点(0,6).
可得6-16a=8a-6,
解得a=
1
2

(2)由(1)得f(x)=
1
2
(x-5)2+6lnx,(x>0),
f′(x)=(x-5)+
6
x
=
(x-2)(x-3)
x

令f′(x)=0,得x=2或x=3,
当0<x<2或x>3时,f′(x)>0,
则f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数,
当2<x<3时,f′(x)<0,
则f(x)在(2,3)上为减函数,
故f(x)在x=2时取得极大值f(2)=
9
2
+6ln2,
在x=3时取得极小值f(3)=2+6ln3.
点评:本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性、函数的极值等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.属于中档题.
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NP
=2
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1
4
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7
3
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B、
4
3
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C、π
D、
1
4
π

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AD
=
2
3
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=
1
3
CA
CB
,则λ等于(  )
A、
2
3
B、
1
3
C、-
1
3
D、-
2
3

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2
0
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