Question

若二项式(x

x

-

1

x

)6的展开式中第5项的值是5，则

lim

n→∞

(

1

x

+

1

x2

+…+

1

xn

)的值是（　　）

• A、

  1

  2

• B、-

  1

  4

• C、2
• D、不存在

Answer 1

分析：由题意可得5=C₆⁴(x

3

2

)2•(-

1

x

)4=15x，解得 x=3，再利用等比数列的求和公式可得，要求的式子为

lim

n→∞

1 x (1-( 1 x )n)

1- 1 x

=

lim

n→∞

1 3 (1-( 1 3 )n)

2 3

=

1 3 (1-0)

2 3

，运算得到结果．

解答：解：二项式(x

x

-

1

x

)6的展开式中第5项的值是5=C₆⁴(x

3

2

)2•(-

1

x

)4=15x，∴x=3．

lim

n→∞

(

1

x

+

1

x2

+…+

1

xn

)=

lim

n→∞

1 x (1-( 1 x )n)

1- 1 x

=

lim

n→∞

1 3 (1-( 1 3 )n)

2 3

=

1 3 (1-0)

2 3

=

1

2

，
故选  A．

点评：本题考查二项展开式的通项公式，求展开式中的某项，等比数列的求和公式，数列极限的运算法则，求出 x=3，是
解题的关键．