Question

【题目】设n为正整数，集合A=．对于集合A中的任意元素和，记

M（）=．

（Ⅰ）当n=3时，若， ，求M（）和M（）的值；

（Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素，当相同时，M（）是奇数；当不同时，M（）是偶数．求集合B中元素个数的最大值；

（Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素，

M（）=0．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．

Answer 1

【答案】(1) M(α，β）=1

(2) 最大值为4

(3)答案见解析

【解析】分析：（1）根据定义对应代入可得M（）和M（）的值；（2）先根据定义得M(α，α）= x1+x2+x3+x4．再根据x1，x 2，x3，x4∈{0，1}，且x1+x2+x3+x4为奇数，确定x1，x 2，x3，x4中1的个数为1或3．可得B元素最多为8个，再根据当不同时，M（）是偶数代入验证，这8个不能同时取得，最多四个，最后取一个四元集合满足条件，即得B中元素个数的最大值；（3）因为M（）=0，所以不能同时取1，所以取共n+1个元素，再利用A的一个拆分说明B中元素最多n+1个元素，即得结果.

详解：解：（Ⅰ）因为α=（1，1，0），β=（0，1，1），所以

M(α，α)= [(1+1|11|)+(1+1|11|)+(0+0|00|)]=2，

M(α，β）= [(1+0–|10|)+(1+1–|1–1|)+(0+1–|0–1|)]=1．

（Ⅱ）设α=（x1，x 2，x3，x4）∈B，则M(α，α）= x1+x2+x3+x4．

由题意知x1，x 2，x3，x4∈{0，1}，且M(α，α)为奇数，

所以x1，x 2，x3，x4中1的个数为1或3．

所以B{(1，0，0，0），（0，1，0，0)，（0，0，1，0)，（0，0，0，1)，（0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0)}.

将上述集合中的元素分成如下四组：

（1，0，0，0)，(1，1，1，0)；（0，1，0，0)，(1，1，0，1)；（0，0，1，0)，（1，0，1，1)；（0，0，0，1)，（0，1，1，1).

经验证，对于每组中两个元素α，β，均有M(α，β）=1.

所以每组中的两个元素不可能同时是集合B的元素．

所以集合B中元素的个数不超过4.

又集合{（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1)}满足条件，

所以集合B中元素个数的最大值为4.

（Ⅲ）设Sk=( x1，x 2，…，xn）|( x1，x 2，…，xn）∈A，xk=1，x1=x2=…=xk–1=0）（k=1，2，…，n)，

Sn+1={( x1，x 2，…，xn）| x1=x2=…=xn=0}，

则A=S1∪S1∪…∪Sn+1．

对于Sk（k=1，2，…，n–1）中的不同元素α，β，经验证，M(α，β)≥1.

所以Sk（k=1，2 ，…，n–1）中的两个元素不可能同时是集合B的元素．

所以B中元素的个数不超过n+1.

取ek=( x1，x 2，…，xn）∈Sk且xk+1=…=xn=0（k=1，2，…，n–1）.

令B=（e1，e2，…，en–1）∪Sn∪Sn+1，则集合B的元素个数为n+1，且满足条件.

故B是一个满足条件且元素个数最多的集合．