Question

函数f（x）在（-∞，+∞）上为偶函数，且f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函数，下面关于f（x）的判断正确的是

 

．
①f（x）是周期函数；②f（x）的图象关于直线x=1对称；③f（x）在[0，1]上是增函数；④f（x）在[1，2]上是减函数；⑤f（2）=f（0）；⑥(

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2

，0)是一个对称中心．

Answer 1

分析：先由偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反可得③错，再由f（x+1）=-f（x）可得f（x+2）=f（x）周期为2判断出①⑤对，以及④错；利用f（x+2）=f（x）=f（-x），可得②对．而f（1-a）=-f（-a）=-f（a）可以判断出⑥对．

解答：解：因为函数f（x）在（-∞，+∞）上为偶函数，且在[-1，0]上是增函数，故f（x）在[0，1]上是减函数；③错；
因为f（x+1）=-f（x）?f（x+2）=-f（x+1）=f（x）．所以其周期T=2．①⑤对
∵f（x+2）=f（x）=f（-x），∴f（x）的图象关于直线x=1对称；②对
∵函数f（x）在[-1，0]上是增函数，T=2．∴f（x）在[1，2]上是增函数；④错
∵（a，b）关于（

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2

，0）的对称点为（1-a，-b）．而f（x+1）=-f（x）?f（1-a）=-f（-a）=-f（a）=-b，即（a，b）也在函数f（x）上，可得⑥对
故答案为：①②⑤⑥

点评：本题主要考查函数的奇偶性以及周期性和单调性的综合，是对函数基本性质的综合考查，属于基础题，但也是易错题．本题的易错点在于⑥的判断上，一般要证明函数关于某个点中心对称的话，其常用做法是：设出函数图象上任意一点，证明这点关于已知点的对称点也在函数图象上即可．