Question

已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x²-（m+1）x-m-2的图象与x轴交于A、B两点，点A在x轴的负半轴，点B在x轴的正半轴，与y轴交于点C，且OB=3OA．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，过点A的直线与抛物线交于点E．问：在抛物线的对称轴上是否存在这样的点F，使得△ABE与以B、D、F为顶点的三角形相似，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点G（x，1）在抛物线上，求出过点A、B、G的圆的圆心的坐标．

Answer 1

【答案】分析：解：（1）由题设条件，设A（-x，0），B（3x，0）（x＞0），则，由A（-x，0），知，由此能求出这个二次函数的解析式．
（2）由这个二次函数的解析式为y=x²-2x-3，知A（-1，0），B（3，0），D（1，-4），对称轴为直线x=1．由 ，得到点E的坐标为（）．过点E作EH⊥x轴于H．在Rt△AEH中，可求AE=，若对称轴与直线交于点P，P点坐标为（1，1）．由∠PAM=∠MDB，知要使得在抛物线的对称轴上存在点F，使得△ABE与以B、D、F为顶点的三角形相似，只需要或．由此能求出符合题意的F点坐标．
（3）由点G（x，1）在抛物线上，知点G的坐标为（1，1），由A、B、G在同一圆上，知圆心一定在抛物线的对称轴上，由PA=PA=PG=，知点P即为过点A、B、G的圆的圆心．
解答：解：（1）由题设条件，设A（-x，0），B（3x，0）（x＞0），
则，
∴由A（-x，0），知，
即3m²+2m-5=0，
解得m=1，或m=-（舍）．
∴这个二次函数的解析式为y=x²-2x-3．
（2）在抛物线的对称轴上存在这样的点F，使得△ABE与以B、D、F为顶点的三角形相似．∵这个二次函数的解析式为y=x²-2x-3，
∴A（-1，0），B（3，0），D（1，-4），
对称轴为直线x=1．
∵过点A的直线与抛物线交于点E，
∴，
解得或，
∴点E的坐标为（）．
过点E作EH⊥x轴于H
在Rt△AEH中，可求AE=．
若对称轴与直线交于点P，
∴P点坐标为（1，1）
∵对称轴与x轴垂直，交点为点M，
∴在Rt△BMD中，可求BD=2，
在Rt△APM中，，
在Rt△BMD中，，
∴∠PAM=∠MDB．
由题意，要使得在抛物线的对称轴上存在点F，使得△ABE与以B、D、F为顶点的三角形相似，只需要或．

∴，
解得，
∴点F₁ 的坐标为（1，）．
或，
解得 D，
∴点F₂ 的坐标为（1，-）．
综上，符合题意的F点坐标为．
（3）∵点G（x，1）在抛物线上
∴点G的坐标为（1，1），
又∵A、B、G在同一圆上
∴圆心一定在抛物线的对称轴上
∵PA=PA=PG=，
∴点P即为过点A、B、G的圆的圆心
∴点P的坐标为（1，1）．
点评：本题主要考查二次函数的性质和应用，直线与圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．