Question

已知f(x)=x³+bx²+cx+2.

(1)若f(x)在x=1时，有极值-1，求b、c的值；

(2)当b为非零实数时，证明f(x)的图象不存在与直线(b²-c)x+y+1=0平行的切线；

(3)记函数|f′(x)|(-1≤x≤1)的最大值为M，求证：M≥.

Answer 1

答案：(1)解：∵f′(x)=3x²+2bx+c，

由f(x)在x=1时有极值-1，得                                        

即解得                                           

当b=1,c=-5时,f′(x)=3x²+2x-5=(3x+5)(x-1)，

当x＞1时，f′(x)＞0，当＜x＜1时，f′(x)＜0.

从而符合在x=1时，f(x)有极值，∴                                    

(2)解：假设f(x)图象在x=t处的切线与直线(b²-c)x+y+1=0平行，

∵f′(t)=3t²+2bt+c，直线(b²-c)x+y+1=0的斜率为c-b²，

∴3t²+2bt+c=c-b²,                                                           

即3t²+2bt+b²=0.∵Δ=4(b²-3b²)=-8b²,又∵b≠0,∴Δ＜0.从而方程3t²+2bt+b²=0无解,因此不存在t，使f′(t)=c-b²，

f(x)的图象不存在与直线(b²-c)x+y+1=0平行的切线.                               

(3)证法一：∵|f′(x)|=|3(x+)²+c|，

①若||＞1，则M应是|f′(-1)|和|f′(1)|中最大的一个，

∴2M≥|f′(-1)|+|f′(1)|=|3-2b+c|+|3+2b+c|≥|4b|＞12，

∴M＞6，从而M≥.                                                       

②当-3≤b≤0时，2M≥|f′(-1)|+|f′()|

=|3-2b+c|+|c|≥|-2b+3|=|(b-3)²|≥3，∴M≥.

③当0＜b≤3时，2M≥|f′(1)|+|f′()|=|3+2b+c|+|c|≥|+2b+3|=|(b+3)²|＞3，∴M≥.

综上所述，M≥.                                                          

证法二：f′(x)=3x²+2bx+c的顶点坐标是()，

①若||＞1，则M应是|f′(-1)|和|f′(1)|中最大的一个，

∴2M≥|f′(-1)|+|f′(1)|=|3-2b+c|+|3+2b+c|≥4|b|＞12，

∴M＞6，从而M≥.                                                         

②若||≤1，则M是|f′(-1)|、|f′(1)|、||中最大的一个.

(ⅰ)当c≥时，2M≥|f′(1)|+|f′(-1)|≥|f′(1)+f′(-1)|=|6+2c|≥3，∴M≥.

(ⅱ)当c＜时，M≥||=-c≥-c＞，

综上所述，M≥成立.