Question

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点．
（1）求证：A₁D⊥B₁C₁；
（2）判断A₁B与平面ADC₁的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）欲证A₁D⊥B₁C₁，由于BC∥B₁C₁，故只要证A₁D⊥BC，根据点D是正△ABC中BC边的中点，可证AD⊥BC，进而证得结论；
（2）直线A₁B∥平面ADC₁．欲证A₁B∥平面ADC₁．只需证明DF∥A₁B，连接A₁C交AC₁于F，则F为A₁C的中点，因为D是BC的中点，所以DF∥A₁B，利用线面平行的判定定理可证．

解答：证明：（1）∵点D是正△ABC中BC边的中点，
∴AD⊥BC，
又A₁A⊥底面ABC，
∴A₁A⊥BC
∵A₁A?平面A₁AD，AD?平面A₁AD，A₁A∩AD=A
∴BC⊥平面A₁AD，
∵A₁D?平面A₁AD，
∴A₁D⊥BC，
∵BC∥B₁C₁，
∴A₁D⊥B₁C₁．
（2）直线A₁B∥平面ADC₁，证明如下：
连接A₁C交AC₁于F，则F为A₁C的中点，
∵D是BC的中点，
∴DF∥A₁B，
又DF?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，
∴A₁B∥平面ADC₁．

点评：本题的考点是点、线、面间距离的计算，主要考查点、线、面之间的位置关系，考查点线距离，关键是正确利用线面平行与垂直的判定与性质．