Question

14．某机床厂用98万元购进一台数控机床，第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，从第一年开始每年的收入均为50万元．设使用x年后数控机床的盈利总额为y万元．
（1）写出y与x之间的函数关系式；并求第几年开始，该机床开始盈利；
（2）问哪一年平均盈利额最大、最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）第x年所需维修、保养费用为12+4（x-1），故y与x之间的函数关系为y=50x-$\frac{1}{2}$x（12+4x+8）-98，x∈N₊．可知当y＞0时，开始盈利，解不等式-2x²+40x-98＞0求得x的范围，从而得到结论；
（2）化简$\frac{y}{x}$=40-（x+$\frac{49}{x}$），再利用基本不等式求最值即可．

解答 解：（1）第二年所需维修、保养费用为12+4万元，
第x年所需维修、保养费用为12+4（x-1）=4x+8，
由维修、保养费用成等差数列递增，
依题得：y=50x-$\frac{1}{2}$x（12+4x+8）-98
=-2x²+40x-98（x∈N₊）；
可知当y＞0时，开始盈利，
解不等式-2x²+40x-98＞0，
得10-$\sqrt{51}$＜x＜10+$\sqrt{51}$．
∵x∈N₊，∴3≤x≤17，
故从第3年开始盈利；
（2）∵$\frac{y}{x}$=40-（x+$\frac{49}{x}$）≤40-2$\sqrt{x•\frac{49}{x}}$=40-14=36．
（当且仅当x=7时，等号成立）；
∴到第七年，年平均盈利额能达到最大值，此时工厂共获利36万元．

点评 本题主要考查等差数列的通项公式，前n项和公式的应用，二次函数函数的性质和基本不等式的应用，属于中档题．