Question

已知椭圆C的中心在原点，一个焦点的坐标为F（，0），且长轴长是短轴长的倍。

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线y=x-1与椭圆C交于A、B两点，求弦长｜AB｜；

（3）设P是椭圆C上的任意一点，MN是圆D：x²+(y-3)²=1的任意一条直径，求的最大值。

Answer 1

解：（1）设椭圆方程为则c＝，a＝

∴b=c=,  a=2

∴椭圆的方程为……………………………………（3分）

（2）由得3x²-4x-2=0 , ，

设A（x₁,y₁）, B(x₂,y₂）,则x₁+x₂=, x₁x₂=-

∴|AB|=………………（8分）

（3）设P（x₀,y₀）,则∴

       ＝

       ＝-（………………………………（11分）

∵y₀∈[-] ∴当y₀＝-时，取得最大值10+6

∴的最大值是10+6…………………………（13分）