Question

如图，过抛物线x²=4y焦点的直线依次交抛物线与圆x²+（y-1）²=1于点A、B、C、D，则|AB|×|CD|的值是（　　）

• A、8
• B、4
• C、2
• D、1

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：方法一：特殊化，取过焦点的直线y=1，求出直线依次交抛物线与圆的点，计算|AB|×|CD|的值；
方法二：设过抛物线焦点F的直线y=kx+1，与x²=4y联立，求出|AB|、|CD|的乘积来．

解答： 解：方法一：特殊化，抛物线x²=4y的焦点是F（0，1），
取过焦点的直线y=1，依次交抛物线与圆x²+（y-1）²=1的点是
A（-2，1）、B（-1，1）、C（1，1）、D（2，1），
∴|AB|×|CD|=1×1=1；
法二：∵抛物线焦点为F（0，1），
∴设直线为y=kx+1，
直线与x²=4y联立得：
y²-（4k²+2）y+1=0；
∵|AB|=|AF|-1=y_A，
|CD|=|DF|-1=y_B；
∴|AB|•|CD|=y_Ay_B=1．
故选：D．

点评：本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了直线与抛物线的应用问题，是中档题目．