Question

函数f（x）的定义域[-4，4]，图象如图，则不等式

f(x)

cos2x

＜0的解集为

 

．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：计算题,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质,不等式的解法及应用

分析：不等式

f(x)

cos2x

＜0即为

f(x)＞0 cos2x＜0

或

f(x)＜0 cos2x＞0

，再由f（x）的图象和余弦函数的图象和性质，得到不等式组，对k取值，即可得到所求解集．

解答： 解：不等式

f(x)

cos2x

＜0即为

f(x)＞0 cos2x＜0

或

f(x)＜0 cos2x＞0

，
即有

-2＜x＜1 2kπ+ π 2 ＜2x＜2kπ+ 3π 2

或

-4＜x＜-2或1＜x＜4 2kπ- π 2 ＜2x＜2kπ+ π 2

，（k∈Z），
即有

-2＜x＜1 kπ+ π 4 ＜x＜kπ+ 3π 4

或

-4＜x＜-2或1＜x＜4 kπ- π 4 ＜x＜kπ+ π 4

则

-2＜x＜1 π 4 ＜x＜ 3π 4

或

-2＜x＜1 - 3π 4 ＜x＜- π 4

或

1＜x＜4 3π 4 ＜x＜ 5π 4

或

-4＜x＜-2 - 5π 4 ＜x＜- 3π 4

，
解得，

π

4

＜x＜1或-2＜x＜-

π

4

或

3π

4

＜x＜

5π

4

或-

5π

4

＜x＜-

3π

4

．
则解集为：（-

5π

4

，-

3π

4

）∪（-2，-

π

4

）∪（

π

4

，1）∪（

3π

4

，

5π

4

）．
故答案为：（-

5π

4

，-

3π

4

）∪（-2，-

π

4

）∪（

π

4

，1）∪（

3π

4

，

5π

4

）．

点评：本题考查不等式的解法，考查余弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题和易错题．