Question

已知函数f(x)=

ex+x-1(x＜0) - 1 3 x3+2x(x≥0)

，则下列说法
①f（x）在[

2

，+∞）上是减函数；
②f（x）的最大值是2；
③方程f（x）=0有2个实数根；
④f(x)≤

4

3

2

在R上恒成立，
则下列正确的命题是（　　）

• A、①③④
• B、②③④
• C、①④
• D、①②③

Answer 1

分析：由函数f(x)=

ex+x-1(x＜0) - 1 3 x3+2x(x≥0)

，分段判断函数在各个区间上的单调性及最值，在求函数单调性时，应用导数求函数的单调区间和最值，从而知道函数的图象的变化情况，故得到答案．

解答：解：当x≥0时，f（x）=-

1

3

x3+2x，令f′（x）=-x²+2=
解得x=

2

，∴f′（x）、f（x）随x的变化情况如下表；
∴函数f（x）在[

2

，+∞）上是减函数，故①正确；
当x=

2

时，f（x）_max=

4

3

2

，故④正确；
当x＜0时，f（x）单调递减，∴f（x）＜f（0）=-1
而f（0）=0，当x→+∞时，f（x）→-∞，故方程f（x）=0有2个实数根，故③正确．
故选A．

点评：分段函数求解问题，一般分段求解，体现了分类讨论的数学思想；在探讨函数单调性时，体现了导数的工具性，也培养了应用知识分析、解决问题的能力，是好题，属中档题．