Question

2．已知各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+1=sina_n（n∈N^*），则下列的说法中，正确的是（　　）

• A． {a_n}是单调递减数列
• B． {a_n}是单调递增数列
• C． {a_n}是周期数列
• D． {a_n}是常数数列

Answer 1

分析 先构造函数f（x）=x-sinx，x∈[0，+∞），根据函数性质得出结论：sinx≤x对任意x∈[0，+∞）恒成立，再判断该数列单调递减．

解答 解：先构造函数f（x）=x-sinx，x∈[0，+∞），
f'（x）=1-cosx≥0对任意x∈[0，+∞）恒成立，
所以，f（x）单调递增，且f（0）=0，
因此，当x≥0时，f（x）≥0，
所以，sinx≤x对任意x∈[0，+∞）恒成立，仅当x=0时，取“=”．
根据题意，数列{a_n}的各项均为正数，
所以，a_n+1=sina_n＜a_n，
即a_n+1＜a_n恒成立，所以数列{a_n}单调递减，
故答案为：A．

点评 本题主要考查了数列的单调性，以及导数在研究函数性质中的应用，属于中档题．