【题目】已知函数f(x)=sin(3x+ ).
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若α是第二象限角,f( )= cos(α+ )cos2α,求cosα﹣sinα的值.
【答案】
(1)解:∵函数f(x)=sin(3x+ ),令 2kπ﹣ ≤3x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,
求得 ﹣ ≤x≤ + ,故函数的增区间为[ ﹣ , + ],k∈Z.
(2)解:由函数的解析式可得 f( )=sin(α+ ),又f( )= cos(α+ )cos2α,
∴sin(α+ )= cos(α+ )cos2α,即sin(α+ )= cos(α+ )(cos2α﹣sin2α),
∴sinαcos +cosαsin = (cosαcos ﹣sinαsin )(cosα﹣sinα)(cosα+sinα)
即 (sinα+cosα)= (cosα﹣sinα)2(cosα+sinα),
又∵α是第二象限角,∴cosα﹣sinα<0,
当sinα+cosα=0时,tanα=﹣1,sinα= ,cosα=﹣ ,此时cosα﹣sinα=﹣ .
当sinα+cosα≠0时,此时cosα﹣sinα=﹣ .
综上所述:cosα﹣sinα=﹣ 或﹣
【解析】(1)令 2kπ﹣ ≤3x+ ≤2kπ+ ,k∈z,求得x的范围,可得函数的增区间.(2)由函数的解析式可得 f( )=sin(α+ ),又f( )= cos(α+ )cos2α,可得sin(α+ )= cos(α+ )cos2α,化简可得 (cosα﹣sinα)2= .再由α是第二象限角,cosα﹣sinα<0,从而求得cosα﹣sinα 的值.
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【题目】某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B,A>0,ω>0,|φ|< 在某一个周期的图象时,列表并填入了部分数据,如表:
ωx+φ | 0 | π | 2π | ||
x | x1 | x2 | x3 | ||
Asin(ωx+φ)+B | 0 | 0 | ﹣ | 0 |
(1)请求出上表中的x1 , x2 , x3 , 并直接写出函数f(x)的解析式;
(2)若3sin2 ﹣ mf( ﹣ )≥m+2对任意x∈[0,2π]恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑,如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是某几何体毛坯的三视图,第一次切削,将该毛坯得到一个表面积最大的长方体,第二次切削沿长方体的对角面刨开,得到两个三棱柱,第三次切削将两个三棱柱分别沿棱和表面的对角线刨开得到两个鳖臑和两个阳马,则阳马与鳖臑的体积之比为( )
A.3:1
B.2:1
C.1:1
D.1:2
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【题目】已知等比数列{an}的公比q>1,且a1+a3=20,a2=8. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设 ,Sn是数列{bn}的前n项和,对任意正整数n不等式 恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】为了了解小学生的体能情况,抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图如图所示,已知图中从左到右前三个小组的频率分别是0.1,0.3,0.4,第一小组的频数为5.
(1)求第四小组的频率;
(2)参加这次测试的学生人数是多少?
(3)在这次测试中,学生跳绳次数的中位数落在第几小组内?
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【题目】四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AB⊥AD,BC∥AD,且AB=BC=2,AD=3,PA⊥平面ABCD且PA=2,则PB与平面PCD所成角的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】四棱锥P﹣ABCD中,PB⊥底面ABCD,CD⊥PD.底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=PB=3.点E在棱PA上,且PE=2EA. (Ⅰ)求异面直线PA与CD所成的角;
(Ⅱ)求证:PC∥平面EBD;
(Ⅲ)求二面角A﹣BE﹣D的大小.(用反三角函数表示).
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【题目】已知四棱锥P﹣ABCD中PA⊥平面ABCD,且PA=4PQ=4,底面为直角梯形, ∠CDA=∠BAD=90°, ,M,N分别是PD,PB的中点.
(1)求证:MQ∥平面PCB;
(2)求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小;
(3)求点A到平面MCN的距离.
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