Question

若存在常数L，使得对任意x₁，x₂∈I且x₁≠x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|，则称函数f（x）在区间I上满足L-条件．
（1）求证：正弦函数f（x）=sinx在开区间(0，

π

2

)上满足L-条件；
（2）如果存在实数M，使得|f'（x）|≤M在区间I上恒成立，那么函数f（x）在I上是否满足L-条件？若满足，给出证明；若不满足，举出反例．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=sinx在(0，

π

2

)上递增可得_{式子|f（x1）-f（x2）|≤L|x1-x2|等价与}sinx₂-sinx₁≤Lx₂-Lx₁，进而可得结论成立．（2）存在实数M，使得|f'（x）|≤M在区间I上恒成立，那么函数f（x）在I上满足L-条件，只要证明对任意x₁，x₂∈I且x₁≠x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤M|x₁-x₂|即可．

解答：（1）证明：要证存在常数L，使对任意x₁，x2∈(0，

π

2

)，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|．
不妨设x₁＜x₂，∵f（x）=sinx在(0，

π

2

)上递增，∴上式等价于sinx₂-sinx₁≤Lx₂-Lx₁，
即sinx₁-Lx₁≥sinx₂-Lx₂，
转化为证明存在常数L，使函数F（x）=sinx-Lx在(0，

π

2

)上递减，再转化为证明在(0，

π

2

)上，
F'（x）=cosx-L≤0恒成立，即cosx≤L恒成立，
由于在(0，

π

2

)上，恒有cosx≤1，故取L=1即可，证毕．
（2）如果存在实数M，使得|f'（x）|≤M在区间I上恒成立，那么函数f（x）在I上满足L-条件，
即对任意x₁，x₂∈I且x₁≠x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤M|x₁-x₂|（*），这里L=M．证明如下：
不妨设x₁＜x₂，按f（x₁）与f（x₂）的大小关系分类：
2f（x₁）=f（x₂）3时，（*）4显然成立；
②当f（x₁）＜f（x₂）时，考虑函数G（x）=f（x）-Mx，x∈I，
由于-M≤f'（x）≤M，故G'（x）=f'（x）-M≤0，从而G（x）在I上递减，
又x₁＜x₂，所以G（x₁）≥G（x₂），即f（x₁）-Mx₁≥f（x₂）-Mx₂，
亦即f（x₂）-f（x₁）≤M（x₂-x₁），也就是（*）成立；
③当f（x₁）＞f（x₂）时，类似②，考虑函数H（x）=f（x）+Mx（x∈I）即可．（9分）
综上所述，对任意x₁，x₂∈I且x₁≠x₂，都有（*），所以函数f（x）在I上满足L-条件．
另解：利用Lagrange中值定理，对任意x₁，x₂∈I且x₁≠x₂，存在ξ∈I，使

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=f′(ξ)，于是|

f(x1)-f(x2)

x1-x2

|=|f′(ξ)|≤M，即|f（x₁）-f（x₂）|≤M|x₁-x₂|．

点评：新概念题与恒成立问题是近年高考考查的重点也是学生学习的难点，新概念考查学生知识的组织能力，恒成立考查学生的函数应用能力．