Question

11．已知点P（2，0）及圆C：x²+y²-6x+4y+4=0．
（1）设过P直线l₁与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆Q的方程；
（2）设直线ax-y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l₂垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d，发现|CP|与d相等，所以得到P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；
（2）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，利用反证法证明：假设符合条件的a存在，由直线l₂垂直平分弦AB得到圆心必在直线l₂上，根据P与C的坐标即可求出l₂的斜率，然后根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，即可求出直线ax-y+1=0的斜率，进而求出a的值，经过判断求出a的值不在求出的范围中，所以假设错误，故这样的a不存在．

解答 解：（1）由于圆C：x²+y²-6x+4y+4=0的圆心C（3，-2），半径为3，
|CP|=$\sqrt{5}$，而弦心距d=$\sqrt{5}$，
所以d=|CP|=$\sqrt{5}$，所以P为MN的中点，
所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为$\frac{1}{2}$|MN|=2，
故以MN为直径的圆Q的方程为（x-2）²+y²=4；
（2）把直线ax-y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a²+1）x²+6（a-1）x+9=0．
由于直线ax-y+1=0交圆C于A，B两点，
故△=36（a-1）²-36（a²+1）＞0，即-2a＞0，解得a＜0．
则实数a的取值范围是（-∞，0）．
设符合条件的实数a存在，
由于l₂垂直平分弦AB，故圆心C（3，-2）必在l₂上．
所以l₂的斜率k_PC=-2，
∴k_AB=a=$\frac{1}{2}$，
由于$\frac{1}{2}∉（-∞，0）$，
故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l₂垂直平分弦AB．

点评 此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两点间的距离公式化简求值，以及会利用反证法进行证明，是一道综合题．