Question

如果函数af（x）=

x3

3

-x-a有三个零点，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：由f（x）=

x3

3

-x-a=0得

x3

3

-x=a，利用导数求出函数y=f（x）=

x3

3

-x的极值，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：由f（x）=

x3

3

-x-a=0的

x3

3

-x=a，
设g（x）=

x3

3

-x，
则函数的g（x）的导数g′（x）=x²-1，
由g′（x）≥0，解得x≥1或x≤-1，此时函数单调递增，
由g′（x）＜0，解得-1＜x＜1，即此时函数单调递减，
故函数的极大值f（-1）=

2

3

，极小值为f（1）=-

2

3

，
∴要使函数f（x）=

x3

3

-x-a有三个零点，
则-

2

3

＜a＜

2

3

，
故答案为：（-

2

3

，

2

3

）

点评：本题主要考查函数零点个数的应用，利用导数研究函数的极值是解决本题的关键．