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设{an}是由正数组成的等比数列,Sn是其前n项和,证明:
log0.  5Sn+log0. 5Sn+22
>log0. 5Sn+1
分析:设数列的公比为q,当q=1时则Sn=na1,代入Sn,Sn+2,Sn+1,再根据对数函数的单调性得证,当≠1时把等比数列的求和公式Sn=
a1(1-qn)
1-q
代入Sn,Sn+2,Sn+1,再根据对数函数的单调性得证.
解答:证明:设{an}的公比为q,由题设知a1>0,q>0,
(1)当q=1时,Sn=na1,从而
Sn•Sn+2-Sn+12=na1(n+2)a1-(n+1)2a12=-a12<0.
(2)当q≠1时,Sn=
a1(1-qn)
1-q
,从而
Sn•Sn+2-Sn+12=
a
2
1
(1-qn)(1-qn+2)
(1-q)2
-
a
2
1
(1-qn+1)2
(1-q)2
=-a12qn<0.
由(1)和(2)得Sn•Sn+2<Sn+12
根据对数函数的单调性,得log0.5(Sn•Sn+2)>log0.5Sn+12
log0.  5Sn+log0. 5Sn+2
2
>log0. 5Sn+1
点评:本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识以及逻辑推理能力,
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