Question

19．已知f（n）=（1+$\frac{1}{1}$）（1+$\frac{1}{4}$）（1+$\frac{1}{7}$）…（1+$\frac{1}{3n-2}$）（n∈N^*），g（n）=$\root{3}{3n+1}$（n∈N^*）
（1）当m=1，2，3时，分别比较f（n）与g（n）的大小（直接给出结论）；
（2）由（1）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）当n=1时，f（1）=2，g（1）=$\root{3}{4}$，f（1）＞g（1），同理可得：f（2）＞g（2），f（3）＞g（3）．
（2）猜想：f（n）＞g（n），（n∈N^*）．即（1+$\frac{1}{1}$）（1+$\frac{1}{4}$）（1+$\frac{1}{7}$）…（1+$\frac{1}{3n-2}$）＞$\root{3}{3n+1}$（n∈N^*）．利用数学归纳法证明即可．

解答 解：（1）当n=1时，f（1）=2，g（1）=$\root{3}{4}$，f（1）＞g（1），
当n=2时，f（2）=$\frac{5}{2}$，g（2）=$\root{3}{7}$，f（2）＞g（2），
当n=3时，f（3）=$\frac{20}{7}$，g（3）=$\root{3}{10}$，f（3）＞g（3）．
（2）猜想：f（n）＞g（n），（n∈N^*）．即（1+$\frac{1}{1}$）（1+$\frac{1}{4}$）（1+$\frac{1}{7}$）…（1+$\frac{1}{3n-2}$）＞$\root{3}{3n+1}$（n∈N^*）．
下面用数学归纳法证明：①当n=1时，上面已证．
②假设当n=k时，猜想成立，即（1+$\frac{1}{1}$）（1+$\frac{1}{4}$）（1+$\frac{1}{7}$）…（1+$\frac{1}{3k-2}$）＞$\root{3}{3k+1}$（k∈N^*）．
则当n=k+1时，f（k+1）=（1+$\frac{1}{1}$）（1+$\frac{1}{4}$）（1+$\frac{1}{7}$）…（1+$\frac{1}{3k-2}$）$（1+\frac{1}{3k+1}）$＞$\root{3}{3k+1}$$（1+\frac{1}{3k+1}）$=$\root{3}{3k+1}$$•\frac{3k+4}{3k+1}$=$\frac{3k+4}{\root{3}{（3k+1）^{2}}}$＞$\root{3}{3k+4}$=g（k+1）．
∴当n=k+1时，猜想也成立．
综上可知：对n∈N^*，猜想均成立．

点评 本题考查了数学归纳法证明不等式、不等式的性质，考查了猜想归纳推理计算能力，属于难题．